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lectures:逆行列

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lectures:逆行列 [2023/05/12 14:04] – [CASE A] kimilectures:逆行列 [2023/08/08 11:55] (現在) – [CASE A] kimi
行 1: 行 1:
 ====== 逆行列 ====== ====== 逆行列 ======
 ===== 定義 ===== ===== 定義 =====
-正方行列$A$に対して、 +正方行列
-$$XA=I +
-$$ +
-を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。 +
- +
 $$ $$
 A=\begin{bmatrix} A=\begin{bmatrix}
行 15: 行 10:
 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
 $$ $$
 +に対して、
 +$$XA=I
 +$$
 +を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。
  
-===== 行列の行基本変形 =====+===== 行列の基本変形 ===== 
 +==== 行基本変形 ====
   * ある行を何倍かする（0倍以外）   * ある行を何倍かする（0倍以外）
   * ある行の何倍かを他の行に加える   * ある行の何倍かを他の行に加える
   * ある行と別の行を交換する   * ある行と別の行を交換する
-→ 基本行列を左から掛け算する+→ 基本行列を左から掛ける 
 +==== 列基本変形 ==== 
 +  * ある列を何倍かする（0倍以外） 
 +  * ある列の何倍かを他の列に加える 
 +  * ある列と別の列を交換する 
 +→ 基本行列を右から掛ける 
 +===== 逆行列の存在 ===== 
 ==== CASE A ==== ==== CASE A ====
-  * $\mathrm{rank}A=n$のとき、適当な基本行列$R_1$, $R_2$, $\cdots$, $R_M$を用いて、+  * 適当な行基本変形により単位行列に変形できる。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A=n$
 $$ $$
 \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
 a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
 a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
-\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 
-a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
 \Rightarrow \Rightarrow
 \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
-1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\ +1&0&\cdots&0\\ 
-0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\ +0&1&\cdots&0\\ 
-\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 
-0&0&\cdots&1&\,&\ast+0&0&\cdots&1
 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
 $$ $$
 +  * 用いた行基本変形に対応する基本行列を$R_1$, $R_2$, $\cdots$, $R_M$とすると
  
-  * ただ1組の解をもつ+$$ 
 +R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 A = I\Rightarrow A^{-1}= R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 
 +$$
  
  
  
-==== CASE A ====+==== CASE B ==== 
 +  * 適当な行基本変形により単位行列に変形できない。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A<n$
  
 $$ $$
 \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
-a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 
-a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ 
-\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 
-a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
 \Rightarrow \Rightarrow
 \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
-1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\ +1&\ast&\cdots&\ast\\ 
-0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\ +0&1&\cdots&\ast\\ 
-\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 
-0&0&\cdots&0&\,&0+0&0&\cdots&0
 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
 $$ $$
  
-  * 解は無数に存在する（解にはパラメータが含まれる） 
  
 +  * 逆行列は存在しない（のではないだろうか）
 +
 +
 +
 +===== 逆行列の性質 =====
 +==== 定理1 ====
  
lectures/逆行列.1683867863.txt.gz · 最終更新: 2023/05/12 14:04 by kimi
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