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lectures:微分の基本公式

差分

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--- lectures:微分の基本公式 [2023/09/26 08:33] – [有理数の冪] kimi
+++ lectures:微分の基本公式 [2023/09/26 08:36] (現在) – [冪関数] kimi
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-===== 有理数の冪 =====
+===== 対数関数 =====
-$n=1,2,3,\cdots$のとき、
+$$ (\ln x)'=\frac{1}{x}$$
-$$ (x^{\frac{1}{n}})'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}$$
-がどうなるかを考えよう。
-一般に
-$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^{n-k-1}b^{k}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$であるから
-$a=(x+h)^{\frac{1}{n}}$, $b=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、
-$$(x+h)-x=\left((x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}\right)\left((x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}\right)$$
-$$\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=(x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}$$
-$$\lim_{h\to 0}\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=nx^{\frac{n-1}{n}}=nx^{1-\frac{1}{n}}$$
-したがって、
-$$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$
-すなわち、
-$$ (x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$
-----
-$n=1,2,3,\cdots$, $m=\pm1,\pm2,\cdots$について
-$$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$$
-を考えよう。
-$z=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、$y=z^m$であり、ここまでのことから
-$$
-\begin{align}
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}&=mz^{m-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-合成関数の微分より、
-$$
-\begin{align}
-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\\
-&=mz^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}=mx^{\frac{m-1}{n}}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\
-&=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-したがって、$\displaystyle\frac{m}{n}=\alpha$とおくと、
-$$
-(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}
-$$
-----
-$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$より$y^n=x^m$。この両辺を$x$で微分すると、
-$$
-\begin{align}
-y^n&=x^m\\
-ny^{n-1}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=mx^{m-1}\\
-\displaystyle\frac{y^{n}}{y}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}x^{m}x^{-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}yx^{-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-したがって、
-$$
-(x^{\frac{m}{n}})'=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}
-$$

lectures/微分の基本公式.1695684789.txt.gz · 最終更新: 2023/09/26 08:33 by kimi