差分

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--- lectures:微分の基本公式 [2023/09/26 08:31] – [冪関数] kimi
+++ lectures:微分の基本公式 [2023/09/26 08:36] (現在) – [冪関数] kimi
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   - [[冪関数の微分3|$\alpha$が有理数のとき]]
   - [[冪関数の微分4|$\alpha$が実数のとき]]
-===== 負の冪 =====
-$m=1,2,3,\cdots$のとき、
-$$ (x^{-m})'=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)$$
-$$\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}=-\frac{(x+h)^m-x^m}{(x+h)^mx^m}=-\frac{mx^{m-1}h+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h^2+\cdots+h^{m}}{(x+h)^mx^m}$$であるから
-$$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h+\cdots+h^{m-1}}{(x+h)^mx^m}$$
-$$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}$$
-したがって、
-$$ (x^{-m})'=-mx^{-m-1}$$
-$n=-m$とおくと、
-$$ (x^{n})'=nx^{n-1}$$
-===== 有理数の冪 =====
-$n=1,2,3,\cdots$のとき、
-$$ (x^{\frac{1}{n}})'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}$$
-がどうなるかを考えよう。
-一般に
-$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^{n-k-1}b^{k}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$であるから
-$a=(x+h)^{\frac{1}{n}}$, $b=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、
-$$(x+h)-x=\left((x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}\right)\left((x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}\right)$$
-$$\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=(x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}$$
-$$\lim_{h\to 0}\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=nx^{\frac{n-1}{n}}=nx^{1-\frac{1}{n}}$$
-したがって、
-$$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$
-すなわち、
-$$ (x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$
-----
-$n=1,2,3,\cdots$, $m=\pm1,\pm2,\cdots$について
-$$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$$
-を考えよう。
-$z=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、$y=z^m$であり、ここまでのことから
-$$
-\begin{align}
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}&=mz^{m-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-合成関数の微分より、
-$$
-\begin{align}
-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\\
-&=mz^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}=mx^{\frac{m-1}{n}}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\
-&=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-したがって、$\displaystyle\frac{m}{n}=\alpha$とおくと、
-$$
-(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}
-$$
-----
-$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$より$y^n=x^m$。この両辺を$x$で微分すると、
-$$
-\begin{align}
-y^n&=x^m\\
-ny^{n-1}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=mx^{m-1}\\
-\displaystyle\frac{y^{n}}{y}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}x^{m}x^{-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}yx^{-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-したがって、
-$$
-(x^{\frac{m}{n}})'=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}
-$$
-===== 実数冪 =====
-一般に$\alpha$が実数のとき、
-$y=x^\alpha$ とする。両辺を対数を取って微分すると、
-したがって、
-$$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$$
-\begin{align}
-y &=x\alpha\\
-\ln y&=\alpha\ln x\\
-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\alpha\ln x)\\
-\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln y\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\
-\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\
-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{y}{x}=\alpha\frac{x^\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}
-\end{align}
+===== 対数関数 =====
+$$ (\ln x)'=\frac{1}{x}$$