lectures:微分の基本公式
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行 5: | 行 5: | ||
$$ (ax+b)' | $$ (ax+b)' | ||
===== 冪関数 ===== | ===== 冪関数 ===== | ||
- | $$ (x^n)'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$ | + | $$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$$ |
- | $n\ge2$のとき、二項定理より | + | - [[冪関数の微分1|$\alpha$が自然数のとき]] |
- | $$(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+{}_nC_k x^{n-k}h^k+\cdots+h^n$$であるから | + | - [[冪関数の微分2|$\alpha$が整数のとき]] |
- | $$(x+h)^n-x^n=nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n$$ | + | - [[冪関数の微分3|$\alpha$が有理数のとき]] |
- | $$\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$$ | + | - [[冪関数の微分4|$\alpha$が実数のとき]] |
- | $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}$$ | + | |
- | したがって、 | + | |
- | $$ (x^n)' | + | |
- | ===== 負の冪 ===== | + | |
- | $m=1, | + | |
- | $$ (x^{-m})' | + | |
- | $$\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}=-\frac{(x+h)^m-x^m}{(x+h)^mx^m}=-\frac{mx^{m-1}h+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h^2+\cdots+h^{m}}{(x+h)^mx^m}$$であるから | + | |
- | $$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h+\cdots+h^{m-1}}{(x+h)^mx^m}$$ | + | |
- | $$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}$$ | + | |
- | したがって、 | + | |
- | $$ (x^{-m})' | + | |
- | $n=-m$とおくと、 | + | |
- | $$ (x^{n})' | + | |
- | ===== 有理数の冪 ===== | + | |
- | $n=1, | + | |
- | $$ (x^{\frac{1}{n}})' | + | |
- | がどうなるかを考えよう。 | + | |
- | 一般に | + | |
- | $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^{n-k-1}b^{k}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$であるから | + | |
- | $a=(x+h)^{\frac{1}{n}}$, $b=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、 | + | |
- | $$(x+h)-x=\left((x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}\right)\left((x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}\right)$$ | + | |
- | $$\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=(x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}$$ | + | |
- | $$\lim_{h\to 0}\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=nx^{\frac{n-1}{n}}=nx^{1-\frac{1}{n}}$$ | + | |
- | したがって、 | + | |
- | $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$ | + | |
- | すなわち、 | + | |
- | $$ (x^{\frac{1}{n}})' | + | |
- | ---- | + | |
- | $n=1, | + | |
- | $$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$$ | + | |
- | を考えよう。 | + | |
- | $z=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、$y=z^m$であり、ここまでのことから | + | |
- | $$ | + | |
- | \begin{align} | + | |
- | \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}& | + | |
- | \displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}& | + | |
- | \end{align} | + | |
- | $$ | + | |
- | 合成関数の微分より、 | + | |
- | $$ | + | |
- | \begin{align} | + | |
- | \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& | + | |
- | & | + | |
- | & | + | |
- | \end{align} | + | |
- | $$ | + | |
- | したがって、$\displaystyle\frac{m}{n}=\alpha$とおくと、 | + | |
- | $$ | + | |
- | (x^\alpha)' | + | |
- | $$ | + | |
- | ---- | + | |
- | $y(x)=x^{\frac{m}{n}}$より$y^n=x^m$。この両辺を$x$で微分すると、 | + | |
- | $$ | ||
- | \begin{align} | ||
- | y^n& | ||
- | ny^{n-1}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& | ||
- | \displaystyle\frac{y^{n}}{y}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& | ||
- | \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& | ||
- | \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& | ||
- | \end{align} | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | したがって、 | ||
- | $$ | ||
- | (x^{\frac{m}{n}})' | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | |||
- | ===== 実数冪 ===== | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | 一般に$\alpha$が実数のとき、 | ||
+ | ===== 対数関数 ===== | ||
+ | $$ (\ln x)' |
lectures/微分の基本公式.1695684170.txt.gz · 最終更新: 2023/09/26 08:22 by kimi