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lectures:基本変形

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lectures:基本変形 [2020/08/21 09:10] – [置換行列] kimilectures:基本変形 [2023/05/12 13:29] – [行列の行基本変形] kimi
行 1: 行 1:
 +
 +===== 係数行列（拡大係数行列） =====
 +
 +$$
 +\begin{cases}
 +a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
 +a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
 +\vdots\\
 +a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}
 +\end{cases}
 +\Rightarrow
 +\begin{bmatrix}
 +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
 +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +====== 連立一次方程式と基本行列 ======
 +
 +
 +===== 行列の行基本変形 =====
 +  * ある行を何倍かする（0倍以外）
 +  * ある行の何倍かを他の行に加える
 +  * ある行と別の行を交換する
 +
 +==== CASE A ====
 +
 +$$
 +\begin{bmatrix}
 +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
 +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
 +\end{bmatrix}
 +\Rightarrow
 +\begin{bmatrix}
 +1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +0&0&\cdots&0&\,&0
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +  * 解は無数に存在する（解にはパラメータが含まれる）
 +
 +==== CASE B ====
 +
 +$$
 +\begin{bmatrix}
 +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
 +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
 +\end{bmatrix}
 +\Rightarrow
 +\begin{bmatrix}
 +1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +0&0&\cdots&1&\,&\ast
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +  * ただ1組の解をもつ
 +
 +==== CASE C ====
 +
 +$$
 +\begin{bmatrix}
 +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
 +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
 +\end{bmatrix}
 +\Rightarrow
 +\begin{bmatrix}
 +1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +0&0&\cdots&0&\,&\ast
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +  * 解は存在しない
 +
 +
 +
 ====== 基本変形と基本行列 ====== ====== 基本変形と基本行列 ======
 ===== 基本変形 ===== ===== 基本変形 =====
-  - ある行（列）と他の行（列）を入れ替える +  * ある行（列）と他の行（列）を入れ替える 
-  - ある行（列）を定数倍する +  * ある行（列）を定数倍する 
-  - ある行（列）の定数倍を他の行（列）に加える+  * ある行（列）の定数倍を他の行（列）に加える
  
   ; 行基本変形 : （$(n\times n)$基本行列）（$(n\times m)$行列）   ; 行基本変形 : （$(n\times n)$基本行列）（$(n\times m)$行列）
行 24: 行 113:
  
   * $ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delta_{m,j} +\delta_{\ell,j}\delta_{m,i}$    * $ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delta_{m,j} +\delta_{\ell,j}\delta_{m,i}$ 
-  * $T_{ij}=T_{ji}$+  * ${}^tT_{ij}=T_{ij}$ ($T_{ij}=T_{ji}$)
   * $|T_{ij}|=-1$   * $|T_{ij}|=-1$
 +  * $|T_{ij}A|=-|A|$
   * $T_{ij}^{-1}=T_{ij}$   * $T_{ij}^{-1}=T_{ij}$
 ==== スケール変換 ==== ==== スケール変換 ====
行 42: 行 132:
   * $D_{i}(1)=E$   * $D_{i}(1)=E$
   * $|D_{i}(s)|=s$   * $|D_{i}(s)|=s$
 +  * $|D_{i}(s)A|=s|A|$
   * $D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$   * $D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$
 ==== Row-addition transformations ==== ==== Row-addition transformations ====
行 57: 行 148:
   * $L_{ij}(0)=E$   * $L_{ij}(0)=E$
   * $|L_{ij}(s)|=1$   * $|L_{ij}(s)|=1$
 +  * $|L_{ij}(s)A|=|A|$
   * $L_{ij}(s)^{-1}=L_{ij}(-s)$   * $L_{ij}(s)^{-1}=L_{ij}(-s)$
lectures/基本変形.txt · 最終更新: 2023/05/12 13:29 by kimi
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