@surface

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====== 台形公式の誤差 ======
===== 1 =====
区間$[a,\,b]$を$N$分割した標本点を$x_k = a + hk$とおく、ただし、$h$は分割幅で
$h=\frac{b-a}{N}$。ここで、$x_0=a$、$x_N=b$であることに注意。

また、
\begin{align}
I_0&\equiv\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^{N-1}\int_{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x)\mathrm{d}x\\
I_n&\equiv\int_a^b f^{(n)}(x)\mathrm{d}x=f^{(n-1)}(b)-f^{(n-1)}(a)
\end{align}
と定義する。

$f(x)$を$x=x_k$の周りでテーラー展開したものを$[{x_{k}},\,{x_{k+1}}]$で積分し、和をとると、
\begin{align}
f(x)&=f(x_k)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_k)(x-x_k)^n\\
\int_{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x)\mathrm{d}x&=f(x_k)\left({x_{k}}-{x_{k+1}}\right)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_k)\int_{x_{k}}^{x_{k+1}}(x-x_k)^n\mathrm{d}x\\
&=hf(x_k)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n)}(x_k)\\
I_0&=h\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\sum_{k=0}^{N-1}f^{(n)}(x_k)
\end{align}
同様に$f(x)$を$x=x_{k+1}$の周りでテーラー展開したものを$[{x_{k}},\,{x_{k+1}}]$で積分し、和をとると、

\begin{align}
I_0&=h\sum_{k=0}^{N-1}f(x_{k+1})-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-h)^{n+1}}{(n+1)!}\sum_{k=0}^{N-1}f^{(n)}(x_{k+1})
\end{align}
===== 2 =====

和をとる変数をそろえると、

\begin{align}
I_0&=h\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^n}{(n+1)!}\left(h\sum_{k=0}^{N-1}f^{(n)}(x_k)\right)\\
I_0&=h\sum_{k=1}^{N}f(x_{k})+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^n}{(n+1)!}\left((-1)^{n}h\sum_{k=1}^{N}f^{(n)}(x_{k})\right)
\end{align}

二式の平均をとると、
\begin{align}
I_0&=\frac{h}{2}\left(\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k)+\sum_{k=1}^{N}f(x_{k})\right)\\
&+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{h^n}{(n+1)!}\frac{h}{2}\left(\sum_{k=0}^{N-1}f^{(n)}(x_k)+(-1)^{n}\sum_{k=1}^{N}f^{(n)}(x_k)\right)
\end{align}

$n=2m-1$のとき、
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}f^{(n)}(x_k)+(-1)^{n}\sum_{k=1}^{N}f^{(n)}(x_k)
&=\sum_{k=0}^{N-1}f^{(2m-1)}(x_k)-\sum_{k=1}^{N}f^{(2m-1)}(x_k)\\
&=f^{(2m-1)}(x_0)-f^{(2m-1)}(x_N)
=-\left(f^{(2m-1)}(b)-f^{(2m-1)}(a)\right)\\
&=-\int_a^b f^{(2m)}(x)\mathrm{d}x=-I_{2m}
\end{align}

$n=2m$のとき、
\begin{align}
\frac{h}{2}\left(\sum_{k=0}^{N-1}f^{(n)}(x_k)+(-1)^{n}\sum_{k=1}^{N}f^{(n)}(x_k)\right)
&=\frac{h}{2}\left(\sum_{k=0}^{N-1}f^{(2m)}(x_k)+\sum_{k=1}^{N}f^{(2m)}(x_k)\right)\\
&=\frac{h}{2}\left(f^{(2m)}(x_0)+2\sum_{k=1}^{N-1}f^{(2m)}(x_k)+f^{(2m)}(x_N)\right)\\
&=h\left(\frac{f^{(2m)}(a)}{2}+\sum_{k=1}^{N-1}f^{(2m)}(x_k)+\frac{f^{(2m)}(b)}{2}\right)\\
&\equiv T_{2m}
\end{align}

$$
I_0=T_{0}
-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{h^{2m-1}}{(2m)!}\frac{h}{2}I_{2m}
+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{h^{2m}}{(2m+1)!}T_{2m}
$$

===== 3 =====
\begin{align}
I_0&=T_{0}
-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{h^{2m}}{2(2m)!}I_{2m}
+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{h^{2m}}{(2m+1)!}T_{2m}\\
I_{2\ell}&=T_{2\ell}
-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{h^{2m}}{2(2m)!}I_{2(m+\ell)}
+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{h^{2m}}{(2m+1)!}T_{2(m+\ell)}\\
T_{2\ell}&=I_{2\ell}
+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{h^{2m}}{2(2m)!}I_{2(m+\ell)}
-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{h^{2m}}{(2m+1)!}T_{2(m+\ell)}
\end{align}


\begin{align}
I_0&=T_{0}
-\frac{h^{2}}{2(2!)}I_{2}+\frac{h^{2}}{3!}T_{2}
-\frac{h^{4}}{2(4!)}I_{4}+\frac{h^{4}}{5!}T_{4}
-\frac{h^{6}}{2(6!)}I_{6}+\frac{h^{6}}{7!}T_{6}
-\cdots\\
T_{2}&=I_{2}
+\frac{h^{2}}{2(2!)}I_{4}-\frac{h^{2}}{3!}T_{4}
+\frac{h^{4}}{2(4!)}I_{6}-\frac{h^{4}}{5!}T_{6}
+\cdots\\
T_{4}&=I_{4}
+\frac{h^{2}}{2(2!)}I_{6}-\frac{h^{2}}{3!}T_{6}
+\cdots\\
T_{6}&=I_{6}
+\cdots
\end{align}


\begin{align}
I_0&=T_{0}
-\frac{h^{2}}{2(2!)}I_{2}
+\frac{h^{2}}{3!}\left(
I_{2}
+\frac{h^{2}}{2(2!)}I_{4}-\frac{h^{2}}{3!}T_{4}
+\frac{h^{4}}{2(4!)}I_{6}-\frac{h^{4}}{5!}T_{6}
+\cdots\right)\\
&-\frac{h^{4}}{2(4!)}I_{4}+\frac{h^{4}}{5!}T_{4}
-\frac{h^{6}}{2(6!)}I_{6}+\frac{h^{6}}{7!}T_{6}
-\cdots\\
&=T_{0}
-\frac{h^{2}}{12}I_{2}
+\frac{h^{4}}{48}I_{4}
-\frac{7h^{4}}{360}T_{4}
+\frac{h^{6}}{360}I_{6}
-\frac{6h^{6}}{7!}T_{6}
-\cdots\\
&=T_{0}
-\frac{h^{2}}{12}I_{2}
+\frac{h^{4}}{48}I_{4}
-\frac{7h^{4}}{360}\left(I_{4}
+\frac{h^{2}}{2(2!)}I_{6}-\frac{h^{2}}{3!}T_{6}
+\cdots\right)\\
&+\frac{h^{6}}{360}I_{6}
-\frac{6h^{6}}{7!}T_{6}
-\cdots\\
&=T_{0}
-\frac{h^{2}}{12}I_{2}
+\frac{h^{4}}{720}I_{4}
-\frac{h^{6}}{480}I_{6}+\frac{31h^{6}}{15120}T_{6}
+\cdots\\
&=T_{0}
-\frac{h^{2}}{12}I_{2}
+\frac{h^{4}}{720}I_{4}
-\frac{h^{6}}{480}I_{6}+\frac{31h^{6}}{15120}\left(I_{6}+\cdots\right)
+\cdots\\
&=T_{0}
-\frac{h^{2}}{12}I_{2}
+\frac{h^{4}}{720}I_{4}
-\frac{h^{6}}{30240}I_{6}+o(h^8)
\end{align}

\begin{align}
h\left(\frac{f(a)}{2}+\sum_{k=1}^{N-1}f(x_{k})+\frac{f(b)}{2}\right)&=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x
+\frac{h^{2}}{12}\left(f'(b)-f'(a)\right)\\
&-\frac{h^{4}}{720}\left(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\right)
+\frac{h^{6}}{30240}\left(f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)\right)+o(h^8)
\end{align}