lectures:冪関数の微分3

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--- lectures:冪関数の微分3 [2023/09/26 08:33] – 作成 kimi
+++ lectures:冪関数の微分3 [2023/09/26 08:34] (現在) – [有理数の冪] kimi
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 ====== 冪関数の微分 ======
+===== 有理数の冪 =====
+$n=1,2,3,\cdots$のとき、
+$$ (x^{\frac{1}{n}})'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}$$
+がどうなるかを考えよう。
+一般に
+$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^{n-k-1}b^{k}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$であるから
+$a=(x+h)^{\frac{1}{n}}$, $b=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、
+$$(x+h)-x=\left((x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}\right)\left((x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}\right)$$
+$$\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=(x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}$$
+$$\lim_{h\to 0}\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=nx^{\frac{n-1}{n}}=nx^{1-\frac{1}{n}}$$
+したがって、
+$$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$
+すなわち、
+$$ (x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$
+----
+$n=1,2,3,\cdots$, $m=\pm1,\pm2,\cdots$について
+$$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$$
+を考えよう。
+$z=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、$y=z^m$であり、ここまでのことから
+$$
+\begin{align}
+\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}&=mz^{m-1}\\
+\displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
+\end{align}
+$$
+合成関数の微分より、
+$$
+\begin{align}
+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\\
+&=mz^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}=mx^{\frac{m-1}{n}}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\
+&=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}
+\end{align}
+$$
+したがって、$\displaystyle\frac{m}{n}=\alpha$とおくと、
+$$
+(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}
+$$
+==== 別解 ====
+$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$より$y^n=x^m$。この両辺を$x$で微分すると、
+$$
+\begin{align}
+y^n&=x^m\\
+ny^{n-1}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=mx^{m-1}\\
+\displaystyle\frac{y^{n}}{y}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}x^{m}x^{-1}\\
+\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}yx^{-1}\\
+\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}
+\end{align}
+$$
+したがって、
+$$
+(x^{\frac{m}{n}})'=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}
+$$

lectures/冪関数の微分3.1695684823.txt.gz · 最終更新: 2023/09/26 08:33 by kimi