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lectures:一次変換

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 ====== 一次変換 ======
+===== 定義 =====
 $$
-\vec{x}\in R\mathbb{R}\left[
+\left\{
-    \begin{array}{rrr}
+    \begin{array}{ll}
-      -1 & 20 & 3 \\
+      \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n, & f(\vec{x}+\vec{y})=f(\vec{x})+f(\vec{y}) \\
-& -5 & 600 \\
+      \vec{x} \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{R}^1, & f(k \vec{x})=k f(\vec{x})
- & 8 & -9
     \end{array}
-  \right] \Leftrightarrow
+  \right. \Leftrightarrow f(\vec{x})=A\vec{x}
 $$
+==== 証明 ====
+$$\vec{y}=f(\vec{x})$$
+$$\vec{x}=x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\cdots$$
+$$\vec{y}=y_1\vec{e}_1+y_2\vec{e}_2+\cdots$$
+$$
+\begin{array}{rcl}
+f(\vec{x})&=&f(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\cdots) \\
+          &=&f(x_1\vec{e}_1)+f(x_2\vec{e}_2)+\cdots \\
+          &=&x_1f(\vec{e}_1)+x_2f(\vec{e}_2)+\cdots \\
+\end{array}
+$$
+$$
+\begin{array}{rcl}
+f(\vec{e}_1)&=&a_{11}\vec{e}_1+a_{21}\vec{e}_2+\cdots\\
+f(\vec{e}_2)&=&a_{12}\vec{e}_1+a_{22}\vec{e}_2+\cdots \\
+    &\vdots& \\
+\end{array}
+$$
+$$
+\begin{array}{rcl}
+f(\vec{x})&=&x_1f(\vec{e}_1)+x_2f(\vec{e}_2)+\cdots \\
+          &=&x_1(a_{11}\vec{e}_1+a_{21}\vec{e}_2+\cdots) \\
+          & &+x_2(a_{12}\vec{e}_1+a_{22}\vec{e}_2+\cdots) \\
+          & &+\cdots \\
+          &=&(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots)\vec{e}_1 \\
+          & &+(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots)\vec{e}_2 \\
+          & &+\cdots \\
+\end{array}
+$$
+$$
+\begin{array}{rcl}
+y_1\vec{e}_1+y_2\vec{e}_2+\cdots &=&(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots)\vec{e}_1 \\
+          & &+(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots)\vec{e}_2 \\
+          & &+\cdots \\
+\end{array}
+$$
+$$
+\left\{\begin{array}{rcl}
+y_1&=&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots\\
+y_2&=&a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots\\
+   &\vdots & \\
+\end{array}
+\right.
+$$
+$$
+\left[\begin{array}{c}
+y_1\\
+y_2\\
+\vdots\\
+\end{array}
+\right]
+=\left[\begin{array}{ccc}
+a_{11}&a_{12}&\cdots\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots\\
+\vdots & & \\
+\end{array}
+\right]
+\left[\begin{array}{c}
+x_{1}\\
+x_{2}\\
+\vdots\\
+\end{array}
+\right]
+$$

lectures/一次変換.1558618077.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)