amath2:指数関数
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| 行 20: | 行 20: | ||
| $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{a-iu} + \frac{1}{a+iu}\right)$$ | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{a-iu} + \frac{1}{a+iu}\right)$$ | ||
| + | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{2a}{a^2+u^2}$$ | ||
| - | 左辺は零になるので | + | $$F(u)=\frac{1}{\pi}\frac{a}{u^2+a^2}$$ |
| - | $$ \int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}\sin(ut)dt=\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt$$ | + | |
| - | + | ||
| - | したがって | + | |
| - | $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと | + | |
| - | $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | + | |
| - | $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | + | |
| - | $$\int\frac{1}{F(u)}d(F(u))=-\frac{1}{2a}\frac{u^2}{2}+C$$ | + | |
| - | ここで$C$は積分常数である。 | + | |
| - | $$\ln|F(u)|=-\frac{u^2}{4a}+C$$ | + | |
| - | $$F(u)=Ce^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | + | |
| - | ただし、積分常数は出るたびに記号$C$にまとめなおしている。この$C$は$u=0$と置くことにより | + | |
| - | $$F(0)=C$$ | + | |
| - | したがって$F(u)$は | + | |
| - | $$F(u)=F(0)e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | + | |
| - | + | ||
| - | 一方$F(0)$は | + | |
| - | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt $$ | + | |
| - | であるから | + | |
| - | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt $$ | + | |
| - | とおくと | + | |
| - | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I $$ | + | |
| - | + | ||
| - | 積分変数はなんでもいいので | + | |
| - | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx $$ | + | |
| - | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy $$ | + | |
| - | これより | + | |
| - | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy $$ | + | |
| - | これは$x, | + | |
| - | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy $$ | + | |
| - | + | ||
| - | $(x, | + | |
| - | + | ||
| - | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta $$ | + | |
| - | これは計算できて、 | + | |
| - | $$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$ | + | |
| - | + | ||
| - | $$ \int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}\frac{d(ar^2)}{dr}dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}d(ar^2)=[-e^{-ar^2}]_0^{\infty}=-(0-1)=1 $$ | + | |
| - | + | ||
| - | よって | + | |
| - | $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ | + | |
| - | $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ | + | |
| - | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}} $$ | + | |
| - | + | ||
| - | まとめると | + | |
| - | $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | + | |
| したがって | したがって | ||
| $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | ||
| を具体的に書き下すと | を具体的に書き下すと | ||
| - | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | + | $$ e^{-a|x|} =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{u^2+a^2}e^{iux}du $$ |
amath2/指数関数.1578455632.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)