amath2:定数関数
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| 行 11: | 行 11: | ||
| - | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{at}e^{-iut}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-iut}dt$$ | + | $$F(u)=\frac{b}{2\pi}\left[\frac{1}{-iu}e^{-iut}\right]_{-a}^{a}$$ |
| - | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$ | + | $$F(u)=\frac{b}{2\pi}\frac{1}{-iu}\left(e^{-iua}-e^{iua}\right)$$ |
| - | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{a-iu}e^{(a-iu)t}\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-(a+iu)}e^{-(a+iu)t}\right]_{0}^{\infty}$$ | + | $$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{1}{u}\frac{e^{iua}-e^{-iua}}{2i}$$ |
| - | + | $$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{\sin(au)}{u}$$ | |
| - | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{a-iu}(1-0) + \frac{1}{2\pi}\frac{1}{-(a+iu)}(0-1)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{a-iu} + \frac{1}{a+iu}\right)$$ | + | |
| - | + | ||
| - | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{2a}{a^2+u^2}$$ | + | |
| - | + | ||
| - | $$F(u)=\frac{1}{\pi}\frac{a}{u^2+a^2}$$ | + | |
| したがって | したがって | ||
| 行 30: | 行 23: | ||
| を具体的に書き下すと | を具体的に書き下すと | ||
| $$ e^{-a|x|} =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{u^2+a^2}e^{iux}du $$ | $$ e^{-a|x|} =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{u^2+a^2}e^{iux}du $$ | ||
| + | $-a< | ||
| + | $$ b =\frac{b}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}e^{iux}du $$ | ||
| + | $x< -a$もしくは$a< | ||
| + | $$ 0 =\frac{b}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}e^{iux}du $$ | ||
amath2/定数関数.1578456140.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)