amath2:ガウス関数
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| 行 21: | 行 21: | ||
| したがって | したがって | ||
| - | $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | + | $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{i}{2\pi}\left(-\frac{iu}{2a}\right)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ |
| これは$F(u)$に関する常微分方程式であるので、これを解くと | これは$F(u)$に関する常微分方程式であるので、これを解くと | ||
| 行 70: | 行 70: | ||
| を具体的に書き下すと | を具体的に書き下すと | ||
| $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | ||
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| - | $e^{iz}=\cos z +i\sin z$を用いると | ||
| - | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt +i\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\sin(ut)dt$$ | ||
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| - | 第二項の被積分関数$e^{-at^2}\sin(ut)$は奇関数であるから第二項の積分は零になる。したがって | ||
| - | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt$$ | ||
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amath2/ガウス関数.1655098833.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)