amath2:ガウス関数
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|---|---|---|---|
| 行 8: | 行 8: | ||
| $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt $$ | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt $$ | ||
| ただし$a> | ただし$a> | ||
| - | |||
| - | $e^{iz}=\cos z +i\sin z$を用いると | ||
| - | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt +i\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\sin(ut)dt$$ | ||
| - | |||
| - | 第二項の被積分関数$e^{-at^2}\sin(ut)$は奇関数であるから第二項の積分は零になる。したがって | ||
| - | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt$$ | ||
| この両辺を$u$で微分すると、 | この両辺を$u$で微分すると、 | ||
| - | $$ \frac{d}{du}F(u)=\frac{\partial}{\partial u}\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) | + | $$ \frac{d}{du}F(u)=\frac{\partial}{\partial u}\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut} |
| - | ここで$e^{-at^2}\sin(ut)$を$t$で微分してみると | + | ここで$e^{-at^2}e^{-iut}$を$t$で微分してみると |
| - | $$ \frac{d}{dt}\left[e^{-at^2}\sin(ut)\right]=-2ate^{-at^2}\sin(ut)+ue^{-at^2}\cos(ut)$$ | + | $$ \frac{d}{dt}\left[e^{-at^2}e^{-iut}\right]=-2ate^{-at^2}e^{-iut}-iue^{-at^2}e^{-iut}$$ |
| この両辺を$[-\infty, | この両辺を$[-\infty, | ||
| - | $$ \left[e^{-at^2}\sin(ut)\right]_{-\infty}^{\infty}=-2a\int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}\sin(ut)dt+u\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt$$ | + | $$ \left[e^{-at^2}e^{-iut}\right]_{-\infty}^{\infty}=-2a\int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}e^{-iut}dt-iu\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt$$ |
| 左辺は零になるので | 左辺は零になるので | ||
| - | $$ \int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}\sin(ut)dt=\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt$$ | + | $$ \int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}e^{-iut}dt=-\frac{iu}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt$$ |
| したがって | したがって | ||
| - | $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | + | $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{i}{2\pi}\left(-\frac{iu}{2a}\right)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ |
| - | これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと | + | これは$F(u)$に関する常微分方程式であるので、これを解くと |
| $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | ||
| $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | ||
| 行 67: | 行 61: | ||
| $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ | $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ | ||
| $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ | $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ | ||
| + | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}} $$ | ||
| + | まとめると | ||
| + | $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
| + | |||
| + | したがって | ||
| + | $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | ||
| + | を具体的に書き下すと | ||
| + | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | ||
amath2/ガウス関数.1578453280.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)