@surface

この文書は読取専用です。文書のソースを閲覧することは可能ですが、変更はできません。もし変更したい場合は管理者に連絡してください。
====== 応用数学I ======
この講義では所謂「線形代数学」の講義をします。((この講義では行列やベクトルの成分、係数、スカラー、定数など具体的な数や変数はすべて実数であるとして扱い、複素数については扱いません。))
  - [[行列]]
  - [[連立一次方程式]]
  - 行列の[[基本変形]]
  - [[行列の階数]]（ランク）
  - [[行列の演算]]
  - [[逆行列]]
  - [[行列式]]
  - ベクトル空間
  - [[内積空間]]
  - [[一次変換]]
  - [[基底]]
  - 行列の固有値と固有ベクトル
  - 行列の対角化
について学びます。

  * [[章末問題]]

===== 例 =====

$$
\begin{bmatrix}
1&-2\\
2&1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1&-2\\
2&1
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix}
1&0\\
-2&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&-2\\
2&1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1&-2\\
0&5
\end{bmatrix}
$$


===== 行列 =====


$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}
\end{array}\right]
$$


==== 零行列 ====

全ての成分が0の行列。

零行列については、
$$O=\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$$
  - $A+O=O+A=A$
  - $A+(-1)A=A-A=(-1)A+A=O$
  - $AO=O$, $OA=O$ ((ただし積が定義できるとき))
が成り立つ
==== 正方行列 ====
$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right]$$
行と列の数が同じ行列。この講義では主にこの形の行列を扱う。以下の行列はすべて正方行列である。

==== 単位行列 ====
$$E=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]$$
単位行列については、
  - $AE=EA=A$
が成り立つ
==== 冪零行列 ====
$A\ne O$であっても$A^{2}=O$となるような行列があり、このような行列については$m>2$についても
$$A^{m}=O$$
が成立する。
==== 逆行列 ====
$$AA^{-1}=A^{-1}A=E$$
==== 正則行列 ====
$$|A|\ne 0$$

==== 余因子 ====
$$\tilde{A}_{23}=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&0&a_{14}\\0&0&1&0\\a_{31}&a_{32}&0&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&0&a_{44}\end{array}\right|$$

==== 余因子行列 ====
$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{cccc}\tilde{A}_{11}&\tilde{A}_{21}&\tilde{A}_{31}&\tilde{A}_{41}\\\tilde{A}_{12}&\tilde{A}_{22}&\tilde{A}_{32}&\tilde{A}_{42}\\\tilde{A}_{13}&\tilde{A}_{23}&\tilde{A}_{33}&\tilde{A}_{43}\\\tilde{A}_{14}&\tilde{A}_{24}&\tilde{A}_{34}&\tilde{A}_{44}\end{array}\right]$$
==== 対角行列 ====
$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{array}\right]$$
==== 三角行列 ====
$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{array}\right]$$
==== 直交行列 ====
$$A^{-1}={}^{t}A$$
==== 対称行列 ====
$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{array}\right]$$
  
==== 転置行列 ====
$${}^{t}A=\left[\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&A_{31}&A_{41}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}&A_{42}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}&A_{43}\\A_{14}&A_{24}&A_{34}&A_{44}\end{array}\right]$$

===== 教科書 =====
{{amazon>jp:4320016602}}
===== 参考書 =====
{{amazon>jp:4563011169}}{{amazon>jp:4320017382}}{{amazon>jp:4320016831}}


===== 余因子 =====

$$
\tilde{A}_{32}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11}&  0   &a_{13}&a_{14}\\
a_{21}&  0   &a_{23}&a_{24}\\
   0  &  1   &  0   &  0   \\
a_{41}&  0   &a_{43}&a_{44}
\end{array}\right|
=(-1)^{3-1+2-1}\left|\begin{array}{ccc}
a_{11}&  a_{13}&a_{14}\\
a_{21}&  a_{23}&a_{24}\\
a_{41}&  a_{43}&a_{44}
\end{array}\right|
$$

===== 行列式 =====

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=a_{11}\tilde{A}_{11}+a_{12}\tilde{A}_{12}+a_{13}\tilde{A}_{13}+a_{14}\tilde{A}_{14}$$

$$\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|$$

===== 逆行列 =====

$$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{|A|}\tilde{A}$$

===== 固有値 =====


===== 固有ベクトル =====