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lectures:maclaurin_exp

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--- lectures:maclaurin_exp [2021/02/17 12:38] – [主な関数のMaclaurin展開] kimi
+++ lectures:maclaurin_exp [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1
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 ===== 主な関数のMaclaurin展開 =====
- $\sin x$
+====  $\sin x$  ====
+$$
- $\sin x=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-\cdots+\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}x^{2m+1}+\cdots$
+\sin x=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-\cdots+\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}x^{2m+1}+\cdots
+$$
-$$\sin x=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-\cdots+\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}x^{2m+1}+\cdots$$
+収束半径は $(-\infty<x<\infty)$
+==== $\cos x$ ====
+$$
+\cos x=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6+\cdots+\frac{(-1)^m}{(2m)!}x^{2m}+\cdots
+$$
+収束半径は $(-\infty<x<\infty)$
+====  $\exp x$  ====
+$$
+e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{120}x^5+\frac{1}{720}x^6+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots
+$$
+収束半径は$(-\infty<x<\infty)$
+====  $\ln(1+x)$  ====
+$$
+\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\cdots
+$$
+収束半径は$(-1<x\le1)$
+====  $\displaystyle\frac{1}{1-x}$  ====
+$$
+\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots+x^n+\cdots
+$$
+収束半径は$(-1<x<1)$
+====  $(1+x)^\alpha$  ====
+$$
+(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha -1)(\alpha -2)}{6}x^3+\cdots
+$$
+$$
+\cdots+\frac{\alpha(\alpha -1)(\alpha -2)\cdots(\alpha -n+1)}{n!}x^n+\cdots
+$$
+収束半径は $(-1<x<1)$
+==== $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ ====
+$$
+\frac{1}{\sqrt{1-x}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2+\frac{5}{16}x^3+\cdots+\frac{(2n-1)!!}{2^nn!}x^n+\cdots
+$$
+収束半径は $(-1<x\le1)$

lectures/maclaurin_exp.1613533086.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)