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トレース: • gaussian_integral
lectures:gaussian_integral

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lectures:gaussian_integral [2022/01/07 14:24] – kimilectures:gaussian_integral [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1
行 1: 行 1:
 ====== Gaussian integral ====== ====== Gaussian integral ======
 +===== 計算例1 =====
  
 +$$
 +\begin{align}
 +I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\
 +&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\
 +I^2&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\
 +&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\
 +&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\
 +&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\\
 +&=\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\rho}d\rho\\
 +&=\pi\\
 +I&=\sqrt{\pi}
 +\end{align}
 +$$
 +
 +$I=\sqrt{\pi}$
 +
 +===== 計算例2 =====
  
  
行 12: 行 30:
 \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau &=\frac{\pi}{2}\\ \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau &=\frac{\pi}{2}\\
 \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u^2}}{u}2udu\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau &=\frac{\pi}{2}\\ \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u^2}}{u}2udu\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau &=\frac{\pi}{2}\\
-&=\pi\\+2\frac{I}{2}\frac{I}{2}&=\frac{\pi}{2}\\ 
 +I^2&=\pi\\
 I&=\sqrt{\pi} I&=\sqrt{\pi}
 \end{align} \end{align}
行 22: 行 41:
  
  
-$$ 
-\begin{align} 
-I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\ 
-&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\ 
-I^2&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\ 
-&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\ 
-&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\ 
-&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\\ 
-&=\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\rho}d\rho\\ 
-&=\pi\\ 
-I&=\sqrt{\pi} 
-\end{align} 
-$$ 
lectures/gaussian_integral.1641533063.txt.gz · 最終更新: (外部編集)
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