lectures:gaussian_integral
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行 1: | 行 1: | ||
====== Gaussian integral ====== | ====== Gaussian integral ====== | ||
+ | ===== 計算例1 ===== | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | I& | ||
+ | & | ||
+ | I^2& | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | &=\pi\\ | ||
+ | I& | ||
+ | \end{align} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $I=\sqrt{\pi}$ | ||
+ | |||
+ | ===== 計算例2 ===== | ||
$$ | $$ | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
+ | \frac{I}{2}& | ||
\int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dx& | \int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dx& | ||
\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dxdt& | \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dxdt& | ||
行 10: | 行 29: | ||
\int_{0}^{\infty}e^{-x}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau dx& | \int_{0}^{\infty}e^{-x}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau dx& | ||
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau & | \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau & | ||
- | &=\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\rho}d\rho\\ | + | \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u^2}}{u}2udu\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau & |
- | &=\pi\\ | + | 2\frac{I}{2}\frac{I}{2}& |
+ | I^2&=\pi\\ | ||
I& | I& | ||
\end{align} | \end{align} | ||
行 21: | 行 41: | ||
- | $$ | ||
- | \begin{align} | ||
- | I& | ||
- | & | ||
- | I^2& | ||
- | & | ||
- | & | ||
- | & | ||
- | & | ||
- | &=\pi\\ | ||
- | I& | ||
- | \end{align} | ||
- | $$ |
lectures/gaussian_integral.1641532709.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)