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lectures:gaussian_integral

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行 1: 行 1:
 ====== Gaussian integral ====== ====== Gaussian integral ======
- +===== 計算例1 =====
  
 $$ $$
 \begin{align} \begin{align}
-\int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dx&=\left[-\frac{e^{-(1+t^2)x}}{1+t^2}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+t^2}\\ +I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\ 
-\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dxdt&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^2}dt\\ +&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\
-\int_{0}^{\infty}e^{-x}\int_{0}^{\infty}e^{-xt^2}dtdx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\+
 I^2&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\ I^2&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\
 +&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\
 &=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\ &=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\
 &=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\\ &=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\\
行 17: 行 16:
 $$ $$
  
 +I=√π
  
---- +===== 計算例2 =====
  
  
 $$ $$
 \begin{align} \begin{align}
-I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\ +\frac{I}{2}&=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx\\ 
-&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\ +\int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dx&=\left[-\frac{e^{-(1+t^2)x}}{1+t^2}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+t^2}\\ 
-I^2&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\ +\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dxdt&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^2}dt\\ 
-&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\ +\int_{0}^{\infty}e^{-x}\int_{0}^{\infty}e^{-xt^2}dtdx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\ 
-&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\ +\int_{0}^{\infty}e^{-x}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau dx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\\ 
-&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\\ +\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau &=\frac{\pi}{2}\\ 
-&=\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\rho}d\rho\\ +\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u^2}}{u}2udu\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau &=\frac{\pi}{2}\\ 
-&=\pi\\+2\frac{I}{2}\frac{I}{2}&=\frac{\pi}{2}\\ 
 +I^2&=\pi\\
 I&=\sqrt{\pi} I&=\sqrt{\pi}
 \end{align} \end{align}
 $$ $$
 +
 +
 +---
 +
 +
 +
lectures/gaussian_integral.1641531907.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)
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