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lectures:連立一次方程式

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lectures:連立一次方程式 [2021/09/06 15:22] – [ただ一組の解が存在する場合] kimilectures:連立一次方程式 [2023/09/05 11:02] (現在) – [CASE A] kimi
行 1: 行 1:
 ====== 連立一次方程式 ====== ====== 連立一次方程式 ======
 +
 +===== 係数行列（拡大係数行列） =====
 +
 +$$
 +\begin{cases}
 +a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
 +a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
 +\vdots\\
 +a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}
 +\end{cases}
 +\Rightarrow
 +\begin{bmatrix}
 +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
 +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +
 +
 +===== 行列の行基本変形 =====
 +  * ある行を何倍かする（0倍以外）
 +  * ある行の何倍かを他の行に加える
 +  * ある行と別の行を交換する
 +
 +==== CASE A ====
 +
 +$$
 +\begin{bmatrix}
 +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
 +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +
 +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
 +\end{bmatrix}
 +\Rightarrow
 +\begin{bmatrix}
 +1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +0&0&\cdots&1&\,&\ast
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +  * ただ1組の解をもつ
 +
 +==== CASE B ====
 +
 +$$
 +\begin{bmatrix}
 +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
 +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
 +\end{bmatrix}
 +\Rightarrow
 +\begin{bmatrix}
 +1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +0&0&\cdots&0&\,&0
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +  * 解は無数に存在する（解にはパラメータが含まれる）
 +
 +
 +==== CASE C ====
 +
 +$$
 +\begin{bmatrix}
 +a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
 +a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
 +\end{bmatrix}
 +\Rightarrow
 +\begin{bmatrix}
 +1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
 +\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
 +0&0&\cdots&0&\,&\ast
 +\end{bmatrix}
 +$$
 +
 +  * 解は存在しない
 +
 +
 ===== ただ一組の解が存在する場合 ===== ===== ただ一組の解が存在する場合 =====
 {{:lectures:figure11.png?200|}} {{:lectures:figure11.png?200|}}
 $$ $$
-\begin{cases}+\begin{array}{ll} 
 +&\begin{cases}
 x+y=3&\cdots(1)\\ x+y=3&\cdots(1)\\
 x-y=1&\cdots(2)\\ x-y=1&\cdots(2)\\
-(2)-(1)\to(2)'&\\ +\end{cases}\\ 
-x+y=3&\cdots(1)\\ +&\begin{cases} 
-x-y=1&\cdots(2)\\ +1x+1y=3&\cdots(1)\\ 
-\end{cases}+1x+(-1)y=1&\cdots(2)\\ 
 +\end{cases}\\ 
 +(2)+(-1)\times(1)\to(2)'&\\ 
 +&\begin{cases} 
 +1x+1y=3&\cdots(1)\\ 
 +0x+(-2)y=-2&\cdots(2)'\\ 
 +\end{cases}\\ 
 +(2)'\div(-2)\to(2)''&\\ 
 +&\begin{cases} 
 +1x+1y=3&\cdots(1)\\ 
 +0x+1y=1&\cdots(2)''\\ 
 +\end{cases}\\ 
 +(1)+(-1)\times(2)''\to(1)'&\\ 
 +\end{array}
 $$ $$
  
  
lectures/連立一次方程式.1630909352.txt.gz · 最終更新: (外部編集)
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