lectures:逆行列
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|---|---|---|---|
| 行 1: | 行 1: | ||
| ====== 逆行列 ====== | ====== 逆行列 ====== | ||
| ===== 定義 ===== | ===== 定義 ===== | ||
| - | 正方行列$A$に対して、 | + | 正方行列 |
| - | $$XA=I | + | |
| - | $$ | + | |
| - | を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。 | + | |
| - | + | ||
| $$ | $$ | ||
| A=\begin{bmatrix} | A=\begin{bmatrix} | ||
| 行 15: | 行 10: | ||
| \end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
| $$ | $$ | ||
| + | に対して、 | ||
| + | $$XA=I | ||
| + | $$ | ||
| + | を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。 | ||
| - | ===== 行列の行基本変形 ===== | + | ===== 行列の基本変形 ===== |
| + | ==== 行基本変形 | ||
| * ある行を何倍かする（0倍以外） | * ある行を何倍かする（0倍以外） | ||
| * ある行の何倍かを他の行に加える | * ある行の何倍かを他の行に加える | ||
| * ある行と別の行を交換する | * ある行と別の行を交換する | ||
| - | → 基本行列を左から掛け算する | + | → 基本行列を左から掛ける |
| + | ==== 列基本変形 ==== | ||
| + | * ある列を何倍かする（0倍以外） | ||
| + | * ある列の何倍かを他の列に加える | ||
| + | * ある列と別の列を交換する | ||
| + | → 基本行列を右から掛ける | ||
| + | ===== 逆行列の存在 ===== | ||
| ==== CASE A ==== | ==== CASE A ==== | ||
| * 適当な行基本変形により単位行列に変形できる。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A=n$ | * 適当な行基本変形により単位行列に変形できる。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A=n$ | ||
| 行 38: | 行 45: | ||
| \end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
| $$ | $$ | ||
| - | * 用いた行基本変形に対応する適当な基本行列を$R_1$, | + | * 用いた行基本変形に対応する基本行列を$R_1$, |
| $$ | $$ | ||
| 行 58: | 行 65: | ||
| \Rightarrow | \Rightarrow | ||
| \begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
| - | 1&0& | + | 1&\ast& |
| - | 0& | + | 0& |
| \vdots& | \vdots& | ||
| 0& | 0& | ||
| \end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
| $$ | $$ | ||
| - | * 用いた行基本変形に対応する適当な基本行列を$R_1$, | ||
| - | $$ | ||
| - | R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 A = I\Rightarrow A^{-1}= R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 | ||
| - | $$ | ||
| + | * 逆行列は存在しない（のではないだろうか） | ||
| - | * 解は無数に存在する（解にはパラメータが含まれる） | ||
| + | ===== 逆行列の性質 ===== | ||
| + | ==== 定理1 ==== | ||
lectures/逆行列.1683868339.txt.gz · 最終更新: by kimi