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lectures:行列式

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--- lectures:行列式 [2022/08/23 13:34] – 外部編集 127.0.0.1
+++ lectures:行列式 [2023/08/08 12:12] (現在) – [すべて0の行があると行列式は0] kimi
@@ 行 18: / 行 18: @@
 ===== 行列式の性質 =====
-  * 同じ行があると零になる
+==== 同じ行があると零になる ====
 交代性の式、
@@ 行 28: / 行 29: @@
 $$\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0$$
-  * ある行に別の行の定数倍を加えても値は変化しない
+==== すべて0の行があると行列式は0 ====
+$$\left|\begin{array}{cccc}ka_{1}&ka_{2}&ka_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|$$
+に
+$k=0$を代入すると、
+$$\left|\begin{array}{cccc}0&0&0\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=0$$
+==== ある行に別の行の定数倍を加えても値は変化しない ====
+第2行の$k$倍を第1行に加えた行列の行列式を考えると、
+$$\begin{align}
+\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+kb_{1}&a_{2}+kb_{2}&a_{3}+kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
+&=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
++\left|\begin{array}{cccc}kb_{1}&kb_{2}&kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\\
+&=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
++k\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\\
+&=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
+\end{align}
+$$
+したがって、
+$$
+\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
+=
+\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+kb_{1}&a_{2}+kb_{2}&a_{3}+kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
+$$

lectures/行列式.1661229272.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1