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--- lectures:行列式 [2018/06/12 10:57] – [多重線形性] kimi
+++ lectures:行列式 [2023/08/08 12:12] (現在) – [すべて0の行があると行列式は0] kimi
@@ 行 4: / 行 4: @@
   - 多重線形性
   - 交代性
-  - 単位行列の行列式は $1$
+  -  $|E|=1$  （単位行列の行列式は $1$ ）
 を定義とするもの。
 ==== 多重線形性 ====
-  - $|A|=\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}+b_{1}&a_{2}+b_{2}&a_{3}+b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}$ \right|=\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}$ \right|+\left| $\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}$ \right|$
+線形性
+  - $\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}+b_{1}&a_{2}+b_{2}&a_{3}+b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}$ \right|=\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}$ \right|+\left| $\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}$ \right|$
+  -  $\left|\begin{array}{cccc}ka_{1}&ka_{2}&ka_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|$
+が、どの行についてもどの列についても成り立つ。
+==== 交代性 ====
+二つの行、もしくは二つの列を入れ替えると符号が逆転する。
+  *  $\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|$
+===== 行列式の性質 =====
+==== 同じ行があると零になる ====
+交代性の式、
+ $\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|$
+で $\left[\begin{array}{ccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right]$
+とおくと、
+ $\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|$
+これが成立するためには、
+ $\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0$
+==== すべて0の行があると行列式は0 ====
+ $\left|\begin{array}{cccc}ka_{1}&ka_{2}&ka_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|$
+に
+ $k=0$ を代入すると、
+ $\left|\begin{array}{cccc}0&0&0\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=0$
+==== ある行に別の行の定数倍を加えても値は変化しない ====
+第2行の $k$ 倍を第1行に加えた行列の行列式を考えると、
+$$\begin{align}
+\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}+kb_{1}&a_{2}+kb_{2}&a_{3}+kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}$ \right|
+&=\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}$ \right|
++\left| $\begin{array}{cccc}kb_{1}&kb_{2}&kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}$ \right|\\
+&=\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}$ \right|
++k\left| $\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}$ \right|\\
+&=\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}$ \right|
+\end{align}
+$$
+したがって、
+$$
+\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}$ \right|
+=
+\left| $\begin{array}{cccc}a_{1}+kb_{1}&a_{2}+kb_{2}&a_{3}+kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}$ \right|
+$$
- $|A|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=a_{11}\tilde{A}_{11}+a_{12}\tilde{A}_{12}+a_{13}\tilde{A}_{13}+a_{14}\tilde{A}_{14}$
- $\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|$