差分

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--- lectures:微分の基本公式 [2023/09/26 08:27] – [冪関数] kimi
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  $(ax+b)'=\lim_{h\to 0}\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{ah}{h}=\lim_{h\to 0}a=a$
 ===== 冪関数 =====
-$$ (x^\alpha)'=\alpha x{\alpha-1}$$
+ $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$
- $(x^n)'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$
- $n\ge2$ のとき、二項定理より
- $(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+{}_nC_k x^{n-k}h^k+\cdots+h^n$ であるから
- $(x+h)^n-x^n=nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n$
- $\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$
- $\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}$
-したがって、
- $(x^n)'=nx^{n-1}$
-===== 負の冪 =====
- $m=1,2,3,\cdots$ のとき、
- $(x^{-m})'=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)$
- $\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}=-\frac{(x+h)^m-x^m}{(x+h)^mx^m}=-\frac{mx^{m-1}h+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h^2+\cdots+h^{m}}{(x+h)^mx^m}$ であるから
- $\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h+\cdots+h^{m-1}}{(x+h)^mx^m}$
- $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}$
-したがって、
- $(x^{-m})'=-mx^{-m-1}$
- $n=-m$ とおくと、
- $(x^{n})'=nx^{n-1}$
-===== 有理数の冪 =====
- $n=1,2,3,\cdots$ のとき、
- $(x^{\frac{1}{n}})'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}$
-がどうなるかを考えよう。
-一般に
- $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^{n-k-1}b^{k}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$ であるから
- $a=(x+h)^{\frac{1}{n}}$ ,  $b=x^{\frac{1}{n}}$ とおくと、
- $(x+h)-x=\left((x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}\right)\left((x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}\right)$
- $\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=(x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}$
- $\lim_{h\to 0}\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=nx^{\frac{n-1}{n}}=nx^{1-\frac{1}{n}}$
-したがって、
- $\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$
-すなわち、
- $(x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$
-----
- $n=1,2,3,\cdots$ ,  $m=\pm1,\pm2,\cdots$ について
- $y(x)=x^{\frac{m}{n}}$
-を考えよう。
- $z=x^{\frac{1}{n}}$ とおくと、 $y=z^m$ であり、ここまでのことから
-$$
-\begin{align}
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}&=mz^{m-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-合成関数の微分より、
-$$
-\begin{align}
-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\\
-&=mz^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}=mx^{\frac{m-1}{n}}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\
-&=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-したがって、 $\displaystyle\frac{m}{n}=\alpha$ とおくと、
-$$
-(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}
-$$
-----
- $y(x)=x^{\frac{m}{n}}$ より $y^n=x^m$ 。この両辺を $x$ で微分すると、
-$$
-\begin{align}
-y^n&=x^m\\
-ny^{n-1}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=mx^{m-1}\\
-\displaystyle\frac{y^{n}}{y}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}x^{m}x^{-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}yx^{-1}\\
-\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}
-\end{align}
-$$
-したがって、
-$$
-(x^{\frac{m}{n}})'=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}
-$$
-===== 実数冪 =====
-一般に $\alpha$ が実数のとき、
- $y=x^\alpha$  とする。両辺を対数を取って微分すると、
-したがって、
- $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$
-\begin{align}
-y &=x\alpha\\
-\ln y&=\alpha\ln x\\
-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\alpha\ln x)\\
-\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln y\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\
-\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\
-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{y}{x}=\alpha\frac{x^\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}
-\end{align}
+  - [[冪関数の微分1| $\alpha$ が自然数のとき]]
+  - [[冪関数の微分2| $\alpha$ が整数のとき]]
+  - [[冪関数の微分3| $\alpha$ が有理数のとき]]
+  - [[冪関数の微分4| $\alpha$ が実数のとき]]
+===== 対数関数 =====
+ $(\ln x)'=\frac{1}{x}$