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amath2:指数関数

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amath2:指数関数 [2020/01/08 12:55] – kimiamath2:指数関数 [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1
行 22: 行 22:
 F(u)=12π2aa2+u2 F(u)=12π2aa2+u2
  
-左辺は零になるので +$$F(u)=\frac{1}{\pi}\frac{a}{u^2+a^2}$$
-$$ \int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}\sin(ut)dt=\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt$$ +
- +
-したがって +
-$$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ +
- +
-これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと +
-1F(u)dduF(u)=−12au +
-∫1F(u)dduF(u)du=−12a∫udu +
-$$\int\frac{1}{F(u)}d(F(u))=-\frac{1}{2a}\frac{u^2}{2}+C$$ +
-ここでCは積分常数である。 +
-ln|F(u)|=−u24a+C +
-F(u)=Ce−u24a +
-ただし、積分常数は出るたびに記号Cにまとめなおしている。このCはu=0と置くことにより +
-F(0)=C +
-したがってF(u)は +
-F(u)=F(0)e−u24a +
- +
-一方F(0)は +
-F(0)=12π∫∞−∞e−at2dt +
-であるから +
-I=∫∞−∞e−at2dt +
-とおくと +
-F(0)=12πI +
- +
-積分変数はなんでもいいので +
-I=∫∞−∞e−ax2dx +
-I=∫∞−∞e−ay2dy +
-これより +
-I2=∫∞−∞e−ax2dx∫∞−∞e−ay2dy +
-これはx,yの逐次積分とも、二重積分ともとることができるので +
-$$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy $$ +
- +
-(x,y)を二次元空間の直交座標とみなしてこれを極座標に変換すると +
- +
-I2=∫∞−∞∫∞−∞e−a(x2+y2)dxdy=∫2π0∫∞0e−ar2rdrdθ +
-これは計算できて、 +
-I2=∫2π0∫∞0e−ar2rdrdθ=2π∫∞0e−ar2rdr=πa∫∞0e−ar2(2ar)dr +
- +
-∫∞0e−ar2(2ar)dr=∫∞0e−ar2d(ar2)drdr=∫∞0e−ar2d(ar2)=[−e−ar2]∞0=−(0−1)=1 +
- +
-よって +
-I2=πa +
-I=√πa +
-F(0)=12πI=12π√πa=1√4aπ +
- +
-まとめると +
-$$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$+
  
 したがって したがって
 f(x)=∫∞−∞F(u)eiuxdu f(x)=∫∞−∞F(u)eiuxdu
 を具体的に書き下すと を具体的に書き下すと
-$$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$+$$ e^{-a|x|} =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{u^2+a^2}e^{iux}du $$
  
amath2/指数関数.1578455732.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)
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