lectures:微分方程式の解法
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行 65: | 行 65: | ||
$$ | $$ | ||
- | $\pm e^{C_1-C_2}$を新たに定数$C$とおくことにより、 | + | $\pm e^{C_1-C_2}$を新たに定数$C_3$とおくことにより、 |
$$ | $$ | ||
- | g(x)=C e^{ax} | + | g(x)=C_3 e^{ax} |
$$ | $$ | ||
と$g(x)$を求めることができる | と$g(x)$を求めることができる | ||
行 78: | 行 78: | ||
$$ | $$ | ||
- | を考えよう。ここで$g(x)=0$であれば前述の斉次方程式と同様に計算できて$f(x)=C | + | を考えよう。ここで$g(x)=0$であれば前述の斉次方程式と同様に計算できて$f(x)=C |
$$ | $$ | ||
u(x)=\frac{f(x)}{e^{-ax}} | u(x)=\frac{f(x)}{e^{-ax}} | ||
行 105: | 行 105: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
+ | したがって | ||
+ | $$ | ||
+ | f(x)=e^{-ax}g(x)=Ce^{ax}+De^{-ax} | ||
+ | $$ | ||
+ | ここで$\frac{C_3}{2a}$をまとめて$C$とおいた。 | ||
+ | ===== まとめ ===== | ||
+ | 以上のことは$a$が一般の複素数の場合にも成り立つので$a=ik$とおくことにより、$b\ne 0$に対して | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{d^2}{dx^2}f(x)+k^2f(x)=0 | ||
+ | $$ | ||
+ | の解は | ||
+ | $$ | ||
+ | f(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx} | ||
+ | $$ | ||
+ | となることがわかる。 | ||
+ | まとめると、 | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{d^2}{dx^2}f(x)+Af(x)=0 | ||
+ | $$ | ||
+ | の形の微分方程式(ただし、$A\ne 0$)の解は、 | ||
+ | |||
+ | $A< | ||
+ | $$ | ||
+ | f(x)=Ce^{ax}+De^{-ax} | ||
+ | $$ | ||
+ | $A> | ||
+ | $$ | ||
+ | f(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx} | ||
+ | $$ | ||
+ | となる。 | ||
+ | この結果は今後、特に証明等を行わずによく用いる。 |
lectures/微分方程式の解法.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1