lectures:変数分離
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行 36: | 行 36: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
$$ | $$ | ||
- | すなわち、 | + | これを整理すると、 |
$$\begin{align} | $$\begin{align} | ||
- | \left( | + | &\left( |
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} | ||
+V_x(x)\varphi_x(x) | +V_x(x)\varphi_x(x) | ||
\right)\varphi_y(y)\varphi_z(z)\\ | \right)\varphi_y(y)\varphi_z(z)\\ | ||
- | +\varphi_x(x)\left( | + | &+\varphi_x(x)\left( |
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} | ||
+V_y(y)\varphi_y(y) | +V_y(y)\varphi_y(y) | ||
\right)\varphi_z(z)\\ | \right)\varphi_z(z)\\ | ||
- | +\varphi_x(x)\varphi_y(y)\left( | + | &+\varphi_x(x)\varphi_y(y)\left( |
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} | ||
+V_z(z)\varphi_z(z) | +V_z(z)\varphi_z(z) | ||
行 53: | 行 53: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
$$ | $$ | ||
+ | 両辺を$\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)$で割ると | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | & | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_x(x)}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} | ||
+ | +V_x(x) | ||
+ | \right)\\ | ||
+ | & | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_y(y)}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} | ||
+ | +V_y(y) | ||
+ | \right)\\ | ||
+ | & | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_z(z)}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} | ||
+ | +V_z(z) | ||
+ | \right) | ||
+ | =E | ||
+ | \end{align} | ||
+ | $$ | ||
+ | この第一、第二、第三の各項はそれぞれ $x$,$y$, $z$ だけの関数であり、それらの和が定数にな | ||
+ | るためにはそれぞれが定数でなければならない。そこでその定数をそれぞれ$E_x$, | ||
+ | おく、すなわち | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_x(x)}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} | ||
+ | +V_x(x)& | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_y(y)}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} | ||
+ | +V_y(y)& | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_z(z)}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} | ||
+ | +V_z(z)& | ||
+ | \end{align} | ||
+ | $$ | ||
+ | とおくと、$E=E_x+E_y+E_z$ となる。 | ||
+ | また、上式はそれぞれ | ||
+ | $$ | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} | ||
+ | +V_x(x)\varphi_x(x)& | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} | ||
+ | +V_y(y)\varphi_y(y)& | ||
+ | -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} | ||
+ | +V_z(z)\varphi_z(z)& | ||
+ | \end{align} | ||
+ | $$ | ||
+ | と書き直すことができ、これらは座標ごとの一次元の時間に依存しないシュレディンガー方程式に | ||
+ | なっている。 |
lectures/変数分離.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1