lectures:同時固有関数
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lectures:同時固有関数 [2019/12/11 13:38] – kimi | lectures:同時固有関数 [2019/12/11 14:07] – [縮退があるとき] kimi | ||
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行 3: | 行 3: | ||
$$AB=BA$$ | $$AB=BA$$ | ||
$$[A, | $$[A, | ||
- | 関数$|a_i\rangle$を演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数であるとすると、 | + | 演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数を$|a_i\rangle$とすると、 |
$$A|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle$$ | $$A|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle$$ | ||
+ | $$BA|a_i\rangle=a_iB|a_i\rangle$$ | ||
+ | $$AB|a_i\rangle=a_iB|a_i\rangle$$ | ||
+ | であるから、関数$B|a_i\rangle$も演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数である | ||
+ | |||
+ | ===== 縮退がないとき ===== | ||
+ | 関数$B|a_i\rangle$は関数$|a_i\rangle$のスカラー倍でなければならないので、 | ||
+ | $$B|a_i\rangle=c|a_i\rangle$$ | ||
+ | これは関数$|a_i\rangle$が演算子$B$の固有関数であることを意味する。 | ||
+ | ===== 縮退があるとき ===== | ||
+ | $$A\sum_i c_i|i\rangle=a\sum_i c_i|i\rangle$$ | ||
+ | $$B|i\rangle=aB|i\rangle$$ | ||
+ | $$B|i\rangle=\sum_j c_{i, | ||
+ | $$\langle k|B|i\rangle=\sum_j c_{i, | ||
+ | $$\sum_k |k\rangle\langle k|=1$$ | ||
+ | $$B|i\rangle=\sum_j c_j\left(\sum_k |k\rangle\langle k|\right)|j\rangle$$ | ||
+ | $$B|i\rangle=\sum_k|k\rangle\sum_j c_j \langle k|j\rangle $$ | ||
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lectures/同時固有関数.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1