amath2:楔型_三角波
差分
このページの2つのバージョン間の差分を表示します。
両方とも前のリビジョン前のリビジョン次のリビジョン | 前のリビジョン最新のリビジョン両方とも次のリビジョン | ||
amath2:楔型_三角波 [2020/07/28 14:01] – kimi | amath2:楔型_三角波 [2020/07/28 14:21] – kimi | ||
---|---|---|---|
行 21: | 行 21: | ||
したがって | したがって | ||
- | したがって | ||
$$ F(u)=\frac{b}{\pi}\int_{0}^{a}\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt=\frac{b}{\pi}\frac{1}{au^2}(1-\cos(au))$$ | $$ F(u)=\frac{b}{\pi}\int_{0}^{a}\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt=\frac{b}{\pi}\frac{1}{au^2}(1-\cos(au))$$ | ||
- | これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと | + | ここで、 |
- | $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | + | $$\cos z=1-2\sin^2\frac{z}{2}$$ |
- | $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | + | をもちいると、 |
- | $$\int\frac{1}{F(u)}d(F(u))=-\frac{1}{2a}\frac{u^2}{2}+C$$ | + | $$ F(u)=\frac{2b}{\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{au^2}=\frac{ab}{2\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{(\frac{au}{2})^2}$$ |
- | ここで$C$は積分常数である。 | + | |
- | $$\ln|F(u)|=-\frac{u^2}{4a}+C$$ | + | |
- | $$F(u)=Ce^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | + | |
- | ただし、積分常数は出るたびに記号$C$にまとめなおしている。この$C$は$u=0$と置くことにより | + | |
- | $$F(0)=C$$ | + | |
- | したがって$F(u)$は | + | |
- | $$F(u)=F(0)e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | + | |
- | 一方$F(0)$は | ||
- | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt $$ | ||
- | であるから | ||
- | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt $$ | ||
- | とおくと | ||
- | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I $$ | ||
- | |||
- | 積分変数はなんでもいいので | ||
- | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx $$ | ||
- | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy $$ | ||
- | これより | ||
- | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy $$ | ||
- | これは$x, | ||
- | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy $$ | ||
- | |||
- | $(x, | ||
- | |||
- | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta $$ | ||
- | これは計算できて、 | ||
- | $$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$ | ||
- | |||
- | $$ \int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}\frac{d(ar^2)}{dr}dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}d(ar^2)=[-e^{-ar^2}]_0^{\infty}=-(0-1)=1 $$ | ||
- | |||
- | よって | ||
- | $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ | ||
- | $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ | ||
- | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}} $$ | ||
- | |||
- | まとめると | ||
- | $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
- | |||
- | したがって | ||
- | $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | ||
- | を具体的に書き下すと | ||
- | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | ||
amath2/楔型_三角波.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1