amath2:指数関数
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| amath2:指数関数 [2020/01/08 12:50] – kimi | amath2:指数関数 [2020/01/08 12:55] – kimi | ||
|---|---|---|---|
| 行 13: | 行 13: | ||
| $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$ | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$ | ||
| - | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{a-iu}e^{(a-iu)t}\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-(a+iu)}e^{-(a+iu)t}\right]_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$ | + | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{a-iu}e^{(a-iu)t}\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-(a+iu)}e^{-(a+iu)t}\right]_{0}^{\infty}$$ |
| - | ここで$e^{-at^2}\sin(ut)$を$t$で微分してみると | + | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{a-iu}(1-0) + \frac{1}{2\pi}\frac{1}{-(a+iu)}(0-1)$$ |
| - | $$ \frac{d}{dt}\left[e^{-at^2}\sin(ut)\right]=-2ate^{-at^2}\sin(ut)+ue^{-at^2}\cos(ut)$$ | + | |
| - | この両辺を$[-\infty, | + | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{a-iu} + \frac{1}{a+iu}\right)$$ |
| - | $$ \left[e^{-at^2}\sin(ut)\right]_{-\infty}^{\infty}=-2a\int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}\sin(ut)dt+u\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt$$ | + | |
| + | $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{2a}{a^2+u^2}$$ | ||
| 左辺は零になるので | 左辺は零になるので | ||
amath2/指数関数.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1