amath2:ガウス関数
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amath2:ガウス関数 [2020/01/08 12:18] – kimi | amath2:ガウス関数 [2021/01/01 17:22] – kimi | ||
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$$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | ||
- | これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと | + | これは$F(u)$に関する常微分方程式であるので、これを解くと |
$$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | ||
$$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | ||
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まとめると | まとめると | ||
$$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
+ | |||
+ | したがって | ||
+ | $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | ||
+ | を具体的に書き下すと | ||
+ | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | ||
amath2/ガウス関数.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1