amath2:ガウス関数
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amath2:ガウス関数 [2020/01/08 12:10] – kimi | amath2:ガウス関数 [2022/06/13 14:35] – kimi | ||
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行 8: | 行 8: | ||
$$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt $$ | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt $$ | ||
ただし$a> | ただし$a> | ||
- | |||
- | $e^{iz}=\cos z +i\sin z$を用いると | ||
- | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt +i\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\sin(ut)dt$$ | ||
- | |||
- | 第二項の被積分関数$e^{-at^2}\sin(ut)$は奇関数であるから第二項の積分は零になる。したがって | ||
- | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt$$ | ||
この両辺を$u$で微分すると、 | この両辺を$u$で微分すると、 | ||
- | $$ \frac{d}{du}F(u)=\frac{\partial}{\partial u}\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) | + | $$ \frac{d}{du}F(u)=\frac{\partial}{\partial u}\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut} |
ここで$e^{-at^2}\sin(ut)$を$t$で微分してみると | ここで$e^{-at^2}\sin(ut)$を$t$で微分してみると | ||
行 29: | 行 23: | ||
$$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | ||
- | これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと | + | これは$F(u)$に関する常微分方程式であるので、これを解くと |
$$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | ||
$$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | ||
行 62: | 行 56: | ||
$$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$ | $$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$ | ||
+ | $$ \int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}\frac{d(ar^2)}{dr}dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}d(ar^2)=[-e^{-ar^2}]_0^{\infty}=-(0-1)=1 $$ | ||
+ | |||
+ | よって | ||
+ | $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ | ||
+ | $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ | ||
+ | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}} $$ | ||
+ | |||
+ | まとめると | ||
+ | $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
+ | |||
+ | したがって | ||
+ | $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | ||
+ | を具体的に書き下すと | ||
+ | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | ||
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+ | $e^{iz}=\cos z +i\sin z$を用いると | ||
+ | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt +i\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\sin(ut)dt$$ | ||
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+ | 第二項の被積分関数$e^{-at^2}\sin(ut)$は奇関数であるから第二項の積分は零になる。したがって | ||
+ | $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt$$ | ||
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