amath2:ガウス関数
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| amath2:ガウス関数 [2020/01/08 12:10] – kimi | amath2:ガウス関数 [2021/01/01 17:22] – kimi | ||
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| 行 29: | 行 29: | ||
| $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$ | ||
| - | これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと | + | これは$F(u)$に関する常微分方程式であるので、これを解くと |
| $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ | ||
| $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | ||
| 行 62: | 行 62: | ||
| $$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$ | $$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$ | ||
| + | $$ \int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}\frac{d(ar^2)}{dr}dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}d(ar^2)=[-e^{-ar^2}]_0^{\infty}=-(0-1)=1 $$ | ||
| + | よって | ||
| + | $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ | ||
| + | $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ | ||
| + | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}} $$ | ||
| + | |||
| + | まとめると | ||
| + | $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
| + | |||
| + | したがって | ||
| + | $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | ||
| + | を具体的に書き下すと | ||
| + | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | ||
amath2/ガウス関数.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1