amath2:ガウス関数
差分
このページの2つのバージョン間の差分を表示します。
| 両方とも前のリビジョン前のリビジョン次のリビジョン | 前のリビジョン次のリビジョン両方とも次のリビジョン | ||
| amath2:ガウス関数 [2020/01/08 12:04] – kimi | amath2:ガウス関数 [2020/01/08 12:22] – kimi | ||
|---|---|---|---|
| 行 59: | 行 59: | ||
| $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta $$ | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta $$ | ||
| + | これは計算できて、 | ||
| + | $$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$ | ||
| + | |||
| + | $$ \int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}\frac{d(ar^2)}{dr}dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}d(ar^2)=[-e^{-ar^2}]_0^{\infty}=-(0-1)=1 $$ | ||
| + | |||
| + | よって | ||
| + | $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ | ||
| + | $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ | ||
| + | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}} $$ | ||
| + | |||
| + | まとめると | ||
| + | $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
| + | |||
| + | したがって | ||
| + | $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | ||
| + | を具体的に書き下すと | ||
| + | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | ||
| + | |||
amath2/ガウス関数.txt · 最終更新: 2022/08/23 13:34 by 127.0.0.1