maclaurin_exp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

Maclaurin展開 Taylorの定理関数$f(x)$が区間$I$で何回でも微分可能なとき、区間$I$に含まれる二点$\begin{matrix}x=a,&b&(a

math2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-25T23:40:42+00:00

数学II 微分の定義 $$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 微分の基本公式 * $(c)'=0$ （$c$は定数） * $(ax+b)'=a$ （$a$, $b$は定数） * $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ （$n = 2,3,4,\cdots$のとき） Topics * 三次方程式 * Maclaurin展開 * Gamma function $\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^n e^{-x}dx=n!$ * Gaussian integral $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ * Stirling's formula $\ln n!\simeq n\ln n-n$

nc

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-01-24T13:31:37+00:00

数値計算「数値解析」や「数値計算法」と呼ばれる講義です。我が母校では「計数物理工学A」という意味不明の講義名でした。数値計算は、ほとんどの理学・工学系の学問領域で必要になる技術です。様々な技法がありますが、突き詰めれば連立一次方程式の繰り返し計算による解法、行列の固有値固有ベクトルの計算法、高速フーリエ変換に尽きるといってもよいでしょう。また、情報工学・情報科学といった学科の学生でない限り、夫々研究に使用する開発環境に応じたライブラリを使用して計算をすることになりますから自分自身でコーディングすることはないでしょう。従って、情報系以外の理学・工学系の皆さんは各計算法の原理や使用条件・適用限界などを理解することに重点を置いてください。…

numeric15

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-01-24T14:40:24+00:00

モンテカルロ法と乱数モンテカルロ法 * 乱数を用いた計算法の総称 * 数値積分 * 物理現象のシミュレーション * 在庫管理、交通量、待ち行列などのシミュレーション * 問題が正攻法で解けないときの最後の手段$$ \begin{align} \int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1f(x_1,x_2,\cdots,x_L)dx_1dx_2\cdots dx_L\\ \sim\frac{1}{N^L}\sum_{n_1=0}^{N-1}\sum_{n_2=0}^{N-1}\cdots\sum_{n_L=0}^{N-1}f(\textstyle\frac{n_1}{N},\frac{n_2}{N},\cdots,\frac{n_L}{N}) \end{align}$$ * $$分割して$$重積分を行うためには$$L=100$$N=2$$2^{100}\simeq 10^{30}$$10^{15}$$3\times 10^{7}$$10^{30}\div 10^{15}\div (3\times 10^{7}) = 0.3\times 10…

pl

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-25T03:48:22+00:00

計算機言語講義の目的手続き型構造化プログラミング言語(FORTRAN, c, Pascal)を通じて、プログラミング言語に共通の概念、プログラミングに必要な知識を習得する関連資格と講義内容

r201501

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

双曲線関数の数値計算双曲線関数（$\cosh$, $\sinh$）でオーバーフローをおこす場合には、 $$\cosh bx=\displaystyle\frac{1}{2}\left({{\rm e}^{bx} + {\rm e}^{-bx}}\right)$$ $$\sin bx=\displaystyle\frac{1}{2}\left({{\rm e}^{bx} - {\rm e}^{-bx}}\right)$$ $$b=\sqrt{a^2-1}$$ より、 $$1-{\rm e}^{- ax}\left({\cosh bx+\displaystyle\frac{a}{b}\sinh bx}\right)=1-\displaystyle\frac{{a+b}}{{2b}}{\rm e}^{-\frac{x}{{a+b}}}+\displaystyle\frac{1}{2b(a + b)}{\rm e}^{-\left({a+b}\right)x}$$ を使え。…

r201502

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

方程式と二次元図形 [グラフ] $x>0$の領域で$x^2+\tan^2x=16$の解は$y=\pm\tan x$と置くことにより、図のように$x^2+y^2=a^2$で表される円と $y=\pm\tan x$のグラフとの交点である。

r201503

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

半無限区間の積分 * 　$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{N+1}{\rm e}^{-x}{\rm d}x$ * 　$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{N+1}{\rm e}^{-x^2}{\rm d}x$ の形の広義積分を数値積分により計算する場合、 $\displaystyle N$が大きくなると$\displaystyle\delta$を上手に選ばないと正しく計算できない。 #define N 10000 double dh=0.01; のままで計算する場合は$\displaystyle N$$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{N+1}{\rm e}^{-x}{\rm d}x$$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{N+1}{\rm e}^{-x^2}{\rm d}x$…

r201504

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

2階常微分方程式共通部分 $z=y'=\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}y$と置くのでこの部分はすべて共通。 double dydx(double x, double y, double z) { return z; } 問題によって変更する部分 $x, y, y'(=z), y''$で書かれた式を$y''=\cdots$の形に直して、その右辺の式を計算する関数をここに定義する。例は、$y''+2y'+y=1$$y''=1-2y'-y=1-2z-y$

ssp

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-11-15T13:20:21+00:00

電子物性の基礎この講義では「量子力学」「物性物理」「固体物理」「電子物性論」などと呼ばれている内容の講義をします。このページでは講義中に使用したスライドや、講義では省略した数式の変形や証明、「電子物性の基礎」の講義を理解するために必要な数学や物理学の基礎についてのドキュメントを提供します。これを活用して講義の予習・復習を必ず行って下さい。ただし、単にこのページのコンテンツを印刷するだけでなく、自分の手を動かして、計算をすることが重要です。…

stirlings_formula

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

Stirling's formula \[ \begin{align} n!&=\int_0^\infty x^n e^{-x} dx\\ &= \int_0^\infty e^{n\ln x -x} dx\\ \end{align} \] \[ f(x)=n\ln x - x \] \[ \begin{align} f'(x)&=\frac{n}{x}- 1\\ f''(x)&=-\frac{n}{x^2}\\ \end{align} \] \[ \begin{align} f(x)&=f(n)+f'(n)(x-n)+\frac{1}{2}f''(n)(x-n)^2+\cdots\\ f(n)&=n\ln n - n\\ f'(n)&=\frac{n}{n}- 1=0\\ f''(n)&=-\frac{n}{n^2}=-\frac{1}{n}\\ \end{align} \] \[ f(x)=n\ln n - n-\frac{1}{2n}(x-n)^2+\cdots\\ \] \[ \begin{align} \int_0^\infty e^{n\ln x -x} dx…

xmath1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-08-08T03:42:05+00:00

応用数学I この講義では所謂「線形代数学」の講義をします。 * 行列 * 連立一次方程式 * 行列の基本変形 * 行列の階数（ランク） * 行列の演算 * 逆行列 * 行列式 * ベクトル空間 * 内積空間 * 一次変換 * 基底 * 行列の固有値と固有ベクトル * 行列の対角化 $$ \begin{bmatrix} 1&-2\\ 2&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2\\ 2&1 \end{bmatrix} $$$$ \begin{bmatrix} 1&0\\ -2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&-2\\ 2&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2\\ 0&5 \end{bmatrix} $$$$ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34…

xmath2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

応用数学II この講義では所謂「フーリエ解析」の講義をします。 * フーリエ展開 * フーリエ変換について学びます。フーリエ展開関数$f(x)$を $$ f(x)=\displaystyle\sum_{k}c_k{\rm e}^{ikx} $$ のように、複素三角関数${\rm e}^{ikx}$の和で表すことをフーリエ展開といい、係数$c_k$$2L$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$$\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$$\vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\vec{0}$…

フーリエ展開の諸定理

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

フーリエ展開の諸定理周期$2\pi$の関数の複素フーリエ展開 \begin{align} f(x)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}\\c_n&=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx\\ \end{align} 複素共役な関数のフーリエ展開 \begin{align} f(x)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx}=\sum_{n'=-\infty}^{\infty}c_{-n'}e^{-in'x}\\ f(x)^\ast&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n^\ast e^{-inx}\\ \end{align} $f(x)$$f(x)=f(x)^\ast$$c_{-n}=c_n^\ast$

ブロッホの定理

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

ブロッホの定理 1次元周期ポテンシャル 1次元シュレディンガー方程式 $${\cal H}\psi(x)=E\psi(x)$$ $${\cal H}= –\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)$$ $$ –\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x) + V(x)\psi(x)=E\psi(x)$$ 周期ポテンシャル $$V(x+a)=V(x)$$ 並進操作$T_a$ $$T_a\psi(x)=\psi(x+a)$$ $x$を$x+a$で置き換えると、 $$ –\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x+a) + V(x+a)\psi(x+a)=E\psi(x+a)$$ $V(x+a)=V(x)$を用いると $$ –\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x+a) + V(x)\psi(x+a)…

一次変換

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

一次変換定義 $$ \left\{ \begin{array}{ll} \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n, & f(\vec{x}+\vec{y})=f(\vec{x})+f(\vec{y}) \\ \vec{x} \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{R}^1, & f(k \vec{x})=k f(\vec{x}) \end{array} \right. \Leftrightarrow f(\vec{x})=A\vec{x} $$ 証明 $$\vec{y}=f(\vec{x})$$ $$\vec{x}=x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\cdots$$ $$\vec{y}=y_1\vec{e}_1+y_2\vec{e}_2+\cdots$$ $$ \begin{array}{rcl} f(\vec{x})&=&f(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+\cdots) \\ &=&f(x_1\vec{e}_1)+f…

三次方程式

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

三次方程式 $$x^3+ax^2+bx+c=0 $$ 標準化 $$(x-r)^3+a(x-r)^2+b(x-r)+c=0$$ $$x^3-3rx^2+3r^2x-r^3+ax^2-2arx+ar^2+bx-br+c=0$$ $$x^3+(a-3r)x^2+(3r^2-2ar+b)x+ar^2-r^3-br+c=0$$ 1実根 $$ x^3+3px-2q=0 $$ $$ x=(q+\sqrt{D})^{\frac{1}{3}}+(q-\sqrt{D})^{\frac{1}{3}} $$ \begin{align} x^3&=(q+\sqrt{D})+3(q+\sqrt{D})^{\frac{2}{3}}(q-\sqrt{D})^{\frac{1}{3}}+3(q+\sqrt{D})^{\frac{1}{3}}(q-\sqrt{D})^{\frac{2}{3}}+(q-\sqrt{D})\\ &=2q+3(q+\sqrt{D})^{\frac{1}{3}}(q-\sqrt{D})^{\frac{1}{3}}\left((q+\sqrt{D})^{\frac{1}{3}}+(q-…

三角関数の定積分

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

波動関数に関する定積分大きさ無限大のポテンシャルの障壁で長さ$L$の領域に閉じ込められた電子の一次元の運動に対する波動関数は、講義で説明したように $$ \varphi_m(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{m\pi}{L}x $$ であらわされる。ただし、$m$$m=1,2,3,\cdots$\begin{align} \langle\varphi_m|\varphi_m\rangle&=\int_{0}^{L}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{m\pi}{L}x\right)^2dx\\ &=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\sin^2 \frac{m\pi}{L}x dx\\ &=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\frac{1}{2}\left(1-\sin \frac{2m\pi}{L}x\right) dx\\ &=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\left(1-\sin \frac{2m\pi}{L}x\right) dx \end{align}$$ \sin…

主な二階線形常微分方程式

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

二階線形常微分方程式エアリー方程式（ストークス方程式） $$y''-xy=0$$ ベッセルの微分方程式 $$x^2y''+xy'+(x^2-n^2)y=0 $$ ルジャンドルの微分方程式 $$(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0$$ ラゲールの微分方程式（陪微分方程式） $$xy''+(k+1-x)y'+(n-k)y=0$$ エルミートの微分方程式 $$y''-2xy'+2ny=0$$$$x(1-x)y''+(\gamma-(\alpha+\beta+1)x)y'-\alpha\beta y=0$$$$y''+(\lambda-x^2)y=0$$

乱数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-25T05:32:13+00:00

疑似乱数乱数でたらめに並んだ数字の列 * サイコロを振る * 正２０面体サイコロ * 物理現象を利用する * 放射線、電流のノイズ * 国勢調査などの中から数字を抜き出す $$X_n= (aX_{n-1}+c) \pmod M$$$$X_n= (aX_{n-1}) \pmod M$$$M$$0

内積空間

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-08-08T03:43:13+00:00

内積 $$ \begin{picture} A \end{picture} $$

冪関数の微分1

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-25T23:32:00+00:00

冪関数の微分自然数冪 $$ (x^n)'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$ $n\ge2$のとき、二項定理より $$(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+{}_nC_k x^{n-k}h^k+\cdots+h^n$$であるから $$(x+h)^n-x^n=nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n$$ $$\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}$$ したがって、 $$ (x^n)'=nx^{n-1}$$

冪関数の微分2

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-25T23:32:53+00:00

冪関数の微分負の冪 $m=1,2,3,\cdots$のとき、 $$ (x^{-m})'=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)$$ $$\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}=-\frac{(x+h)^m-x^m}{(x+h)^mx^m}=-\frac{mx^{m-1}h+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h^2+\cdots+h^{m}}{(x+h)^mx^m}$$であるから $$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h+\cdots+h^{m-1}}{(x+h)^mx^m}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}$$ したがって、 $$ (x…

冪関数の微分3

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-25T23:34:22+00:00

冪関数の微分有理数の冪 $n=1,2,3,\cdots$のとき、 $$ (x^{\frac{1}{n}})'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}$$ がどうなるかを考えよう。一般に $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^{n-k-1}b^{k}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$であるから $a=(x+h)^{\frac{1}{n}}$, $b=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、 $$(x+h)-x=\left((x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}\right)\left((x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}\right)$$ $$\frac{h}{(x+h)^{\fra…

冪関数の微分4

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-25T23:33:35+00:00

冪関数の微分実数冪一般に$\alpha$が実数のとき、 $y=x^\alpha$ とする。両辺を対数を取って微分すると、したがって、 $$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$$ \begin{align} y &=x\alpha\\ \ln y&=\alpha\ln x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\alpha\ln x)\\ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln y\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\ \frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{y}{x}=\alpha\frac{x^\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}…

台形公式の誤差

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-11-21T05:37:16+00:00

台形公式の誤差 1 区間$[a,\,b]$を$N$分割した標本点を$x_k = a + hk$とおく、ただし、$h$は分割幅で $h=\frac{b-a}{N}$。ここで、$x_0=a$、$x_N=b$であることに注意。また、 \begin{align} I_0&\equiv\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\sum_{k=0}^{N-1}\int_{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x)\mathrm{d}x\\ I_n&\equiv\int_a^b f^{(n)}(x)\mathrm{d}x=f^{(n-1)}(b)-f^{(n-1)}(a) \end{align} と定義する。 $f(x)$を$x=x_k$の周りでテーラー展開したものを$[{x_{k}},\,{x_{k+1}}]$で積分し、和をとると、 \begin{align} f(x)&=f(x_k)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_k)(x-x_k)^n\\ \int_{x_{k}}^{x_{k+1}}f(x)\mathrm{d}x&=f(x_k…

同時固有関数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

同時固有関数演算子$A$と演算子$B$が可換であるとき、 $$AB=BA$$ $$[A,B]=AB-BA=0$$ 演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数を$|a_i\rangle$とすると、 $$A|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle$$ $$BA|a_i\rangle=a_iB|a_i\rangle$$ $$AB|a_i\rangle=a_iB|a_i\rangle$$ であるから、関数$B|a_i\rangle$も演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数である縮退がないとき関数$B|a_i\rangle$$|a_i\rangle$$$B|a_i\rangle=c|a_i\rangle$$$|a_i\rangle$$B$$$A\sum_i c_i|i\rangle=a\sum_i c_i|i\rangle$$$$B|i\rangle=aB|i\rangle$$$$B|i\rangle=\sum_j c_{i,j}|j\rangle$$$$\langle k|B|i\rangle=\sum_j c_{i,j}\langle k|j\rangle…

周期表

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

周期表 H HeLiBe B C N O F NeNa

基底

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

基底線形結合 $\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}\in\mathbf{R}^n,\,{c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k}\in\mathbf{R}^1$について、 $$c_1\vec{u_1}+c_2\vec{u_2}+c_3\vec{u_3}+\cdots+c_k\vec{u_k}$$ を$\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}$の一次結合という。線形関係式 $\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}\in\mathbf{R}^n,\,{c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k}\in\mathbf{R}^1$について、 $$c_1\vec{u_1}+c_2\vec{u_2}+c_3\vec{u_3}+\cdots+c_k\vec{u_k}=\vec{0}$$ が成立するような$({c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k})$の組みが …

基本変形

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-12T04:29:56+00:00

基本変形と基本行列基本変形 * ある行（列）と他の行（列）を入れ替える * ある行（列）を定数倍する * ある行（列）の定数倍を他の行（列）に加える行基本変形（$(n\times n)$基本行列）（$(n\times m)$$(n\times m)$$(m\times m)$$$ T_{ij}=\left[ {\begin{array}{ccccccc} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&0&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&0&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$$ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delt…

変数分離

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

直交座標での変数分離三次元空間での時間に依存しないシュレディンガー方程式は $$ \begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\varphi(x,y,z)&+\\ V(x,y,z)\varphi(x,y,z)&=E\varphi(x,y,z) \end{align}$$ である。ここで、ポテンシャルエネルギーが $$ V(x,y,z)=V_x(x)+V_y(y)+V_z(z) $$ の形をしている場合は変数分離を行うことができ、一次元の時間に依存しないシュレディンガー方程式三つに分解し、それぞれを解くことにより全体の解を求めることができる。波動関数を $$ \varphi(x,y,z)=\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z) $$ とおくと、シュレディンガー方程式は $$ \begin{align} -\fr…

微分の基本公式

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-25T23:36:25+00:00

微分の基本公式定数関数 $$ (C)'=\lim_{h\to 0}\frac{C-C}{h}=0$$ 一次関数 $$ (ax+b)'=\lim_{h\to 0}\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{ah}{h}=\lim_{h\to 0}a=a$$ 冪関数 $$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$$ * $\alpha$が自然数のとき * $\alpha$が整数のとき * $\alpha$が有理数のとき * $\alpha$が実数のとき対数関数 $$ (\ln x)'=\frac{1}{x}$$

微分方程式の解法

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

微分方程式の解はじめにポテンシャルエネルギーが一定値をとる領域でのシュレディンガー方程式は $$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)+Af(x)=0 $$ のような形であらわされるが、この形の微分方程式は古典力学における調和振動子の運動方程式や、電磁波を記述するマクスウェル方程式、最も簡単な交流回路など様々な問題に対して共通にあらわれる基本的な微分方程式で、二階定係数線形斉次常微分方程式などと呼ばれている。$A=0$$f(x)$$a$$A=-a^2$$$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)-a^2f(x)=0 $$$a\ne 0$\begin{align} \frac{d^2}{dx^2}f(x)-a^2f(x)&=\left(\frac{d^2}{dx^2}-a^2\right)f(x)\\ &=\left(\frac{d}{dx}-a\right)\left(\frac{d}{dx}+a\right)f(x)=0 \end{align}$$ \left(\frac{d}{dx}+a\right)f(x)=g(x) $$$$ \left(\frac{d}{dx}…

昇降演算子

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-11-15T13:32:53+00:00

昇降演算子演算子$\vec{\ell}=(\ell_x,\,\ell_y,\,\ell_z)$が \begin{align*} [\ell_x,\ell_y]&=i\hbar\ell_z\\ [\ell_y,\ell_z]&=i\hbar\ell_x\\ [\ell_z,\ell_x]&=i\hbar\ell_z\\ \end{align*} という交換関係を満たすとき、$\vec{\ell}^2$と$\ell_z$は交換する。（$[\vec{\ell}^2,\ell_x]=0$） \begin{align*} [\ell_x,\ell_y]&=i\hbar\ell_z\\ [\ell_y,\ell_z]&=i\hbar\ell_x\\ [\ell_z,\ell_x]&=i\hbar\ell_z\\ \end{align*}

演算子

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-11-17T00:37:55+00:00

演算子交換関係演算子に対しては和の交換則は成立するが、積の交換則は成立しない。すなわちA, Bを演算子とすると、一般には $$ AB\ne BA $$ である。そこで $$ [A,B]=AB-BA $$ と定義し、これを交換子とよぶ。一般に、交換子には次のような関係がなりたつ。ただし、$A$$B$$C$$k$$ [A,B]=-[B,A] $$\begin{align} -[B, A] &= -(BA-AB)\\ &=-BA+AB\\ &=AB-BA\\ &=[A,B] \end{align}$ [kA, B] = [A, kB] = k [A, B] $$[kA,B] = (kA)B-B(kA)=k(AB-BA)=k[A,B] $$ [A,kB] = A(kB)-(kB)A=k(AB-BA)=k[A,B] $$[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$$[A,B+C]=A(B+C)-(B;C)A=$…

章末問題

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

章末問題第12章[1] (5) $$c_1\begin{bmatrix}1\\-2\\3\\1\end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix}3\\-5\\4\\2\end{bmatrix} +c_3\begin{bmatrix}-1\\1\\2\\1\end{bmatrix} =\bf{0}$$ $$ \begin{bmatrix}c_1+3c_2-c_3\\ -2c_1-5c_2+c_3\\ 3c_1+4c_2+2c_3\\ c_1+2c_2+c_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} $$ $$\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ -2&-5& 1\\ 3& 4& 2\\ 1& 2& 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} $$ $$\begin{cases} c…

結晶構造と表面

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

結晶構造 * 3次元ブラベー格子 * 結晶構造ソフトウェア * Jmol * VESTA 3次元ブラベー格子結晶系 * 三斜晶系 * 単斜晶系 * 斜方晶系 * 正方晶系 * 六方晶系 * 三方晶系_菱面体 * 立方晶系結晶構造 * 面心立方格子 (fcc: face centre cubic) * 体心立方格子 (bcc: body centre cubic) * ダイアモンド構造 (diamond) * 閃亜鉛鉱構造 (zinc blende) * 岩塩型構造 (NaCl)

行列

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

行列 $$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right]$$ * $m$行$n$列の行列$A$の型は$(m\times n)$型 * 行列$A$の$(i, j)$成分（$i$行$j$列成分）は$a_{ij}$ $$(A)_{ij}=a_{ij}$$ * 行列$A$の第$i$行は$$\left[\begin{array}{cccc}a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\end{array}\right]$$ * 行列$A$の第$j$列は$$\left[\begin{array}{c}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{array}\right]$$…

行列の演算

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

行列の演算行列の和とスカラー倍零行列行列の積正方行列単位行列冪零行列まとめ * $A+B=B+A$ * $A+O=O+A=A$ * $(A+B)+C=A+(B+C)$ *

行列の階数

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-05-12T04:42:35+00:00

行列のランク行列の行基本変形 * ある行を何倍かする（0倍以外） * ある行の何倍かを他の行に加える * ある行と別の行を交換する $$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0& \end{bmatrix} $$ * 全て$0$でない行の数＝行列のランク（回数） $$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\…

行列式

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-08-08T03:12:02+00:00

行列式定義存在証明等がないので厳密な定義ではないが、実用上一番すっきりするのは、 * 多重線形性 * 交代性 * $|E|=1$ （単位行列の行列式は$1$）を定義とするもの。多重線形性線形性$\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+b_{1}&a_{2}+b_{2}&a_{3}+b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|$$\left|\begin{array}{cccc}ka_{1}&ka_{2}&ka_{3}\\c_{21…

言語と物質名

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2022-08-23T04:34:32+00:00

言語と物質名 metal 金属かね（金） Fe ferrum iron 鉄くろがね（黒金） Cu cuprum copper 銅あかがね（赤金） Ag argentum silver 銀しろがね（白金） Au aurum gold 金

逆行列

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-08-08T02:55:44+00:00

逆行列定義正方行列 $$ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} $$ に対して、 $$XA=I $$ を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。行列の基本変形行基本変形 * ある行を何倍かする（0倍以外） * ある行の何倍かを他の行に加える$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A=n$$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{b…

連立一次方程式

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2023-09-05T02:02:03+00:00

連立一次方程式係数行列（拡大係数行列） $$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{cases} \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} $$ 行列の行基本変形 * ある行を何倍かする（0倍以外） * ある行の何倍かを他の行に加える * ある行と別の行を交換する CASE A $$ \begin{bma…

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