http://sstweb.ee.ous.ac.jp/ 2026-04-18T15:09:55+00:00 http://sstweb.ee.ous.ac.jp/ http://sstweb.ee.ous.ac.jp/lib/exe/fetch.php?media=wiki:logo.png text/html 2023-09-05T02:21:56+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E3%81%84%E3%82%8D%E3%81%84%E3%82%8D%E3%81%AA%E7%A9%8D%E5%88%86&rev=1693880516&do=diff いろいろな積分 指数関数×三角関数 $$ \frac{d}{dx}\left(e^{-ax}\sin(bx)\right)=-a e^{-ax}\sin(bx)+b e^{-ax}\cos(bx) $$ $$ e^{-ax}\sin(bx)+C=-a \int e^{-ax}\sin(bx)dx +b \int e^{-ax}\cos(bx)dx $$ $$ \frac{d}{dx}\left(e^{-ax}\cos(bx)\right)=-a e^{-ax}\cos(bx)-b e^{-ax}\sin(bx) $$ $$ e^{-ax}\cos(bx)+C=-a \int e^{-ax}\cos(bx)dx-b \int e^{-ax}\sin(bx)dx $$ $$ \frac{d}{dx} \begin{bmatrix} e^{-ax}\cos(bx)\\e^{-ax}\sin(bx) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a e^{-ax}\cos(bx)-b e^{-ax}\sin(bx)\\b e^{-ax}\cos(bx)-a e^… text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E9%96%A2%E6%95%B0&rev=1661229272&do=diff ガウス関数のフーリエ変換 $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ とすると$F(u)$は $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$ これに $$ f(x) = e^{-ax^2} $$ を代入すると $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt $$ ただし$a>0$とする。 この両辺を$u$で微分すると、 $$ \frac{d}{du}F(u)=\frac{\partial}{\partial u}\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut} dt\right\}=-\frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}e^{-iut} dt$$ ここで$e^{-at^2}e^{-iut}$を$t$で微分してみると $$ \frac{d}… text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B&rev=1661229272&do=diff フーリエ解析 フーリエ展開は$f\left( {x + 2L} \right) = f\left( x \right)$を満たすような周期関数を、三角関数の用いてあらわそうというものであった。この考え方は非常に有用なので周期関数でなくても同様のことができないだろうかというのがここで説明するフーリエ変換のはじまりである。実用上は単純明快で実際のデータは有限区間でしか定義されていないので、周期関数でなくても周期が非常に大きな関数のある部分だけを問題にしていると看做せばよい。この考え方をもうすこし厳密にしたのがフーリエ変換であるといえる。$f(x+2L)=f(x)$$\left|\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)dx\right|<\infty$$$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{\frac{\pi}{L}nx} $$$2L$$f(x)$$$ f\left( x \right) = \sum_{n = - \infty }^\infty {c_n \mathrm{e}^{ik_n x} } $$$$ k_n … text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%B1%95%E9%96%8B&rev=1661229272&do=diff フーリエ展開 $$ f(x+L)=f(x) $$ $$ f(x)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}{\rm e}^{ik_{n}x} $$ $$ k_{n}=\displaystyle\frac{2\pi}{L}n,\,\,\,(n=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\pm 4,\,\cdots) $$ $$ c_{n}=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x){\rm e}^{-ik_{n}x}{\rm d}x $$ text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&rev=1661229272&do=diff 二階線型微分方程式 $$ a\displaystyle\frac{{{{\rm d}}^2 }} {{{{\rm d}}x^2 }}f\left( x \right) + b\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) + cf\left( x \right) = ah\left( x \right) $$ $$ at^2 + bt + c = a\left( {t - \alpha } \right)\left( {t - \beta } \right) $$ $$ \displaystyle\frac{{{{\rm d}}^2 }} {{{{\rm d}}x^2 }}f\left( x \right) - \left( {\alpha + \beta } \right)\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) + \alpha \beta f\left( x \right) = h\left( x … text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E5%AE%9A%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0&rev=1661229272&do=diff 定数関数のフーリエ変換 $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ とすると$F(u)$は $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$ これに$-a<x<a$では $$ f(x) = b $$ $x< -a$もしくは$a<x$では $$ f(x) = 0 $$ を代入すると $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a}be^{-iut}dt $$ $$F(u)=\frac{b}{2\pi}\left[\frac{1}{-iu}e^{-iut}\right]_{-a}^{a}$$ $$F(u)=\frac{b}{2\pi}\frac{1}{-iu}\left(e^{-iua}-e^{iua}\right)$$ $$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{1}{u}\frac{e^{iua}-e^{-iua}}{2i}$$ $$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{\sin(au)}{u}$$ した… text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E6%8C%87%E6%95%B0%E9%96%A2%E6%95%B0&rev=1661229272&do=diff 指数関数のフーリエ変換 $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ とすると$F(u)$は $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$ これに $$ f(x) = e^{-a|x|} $$ を代入すると $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-iut}dt $$ ただし$a>0$とする。 $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{at}e^{-iut}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-iut}dt$$ $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$ $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac… text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E6%A5%94%E5%9E%8B_%E4%B8%89%E8%A7%92%E6%B3%A2&rev=1661229272&do=diff 楔形関数のフーリエ変換／三角波のフーリエ展開 $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ とすると$F(u)$は $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$ これに$-a<x<a$で $$ f(x) = b\left(1-\frac{|x|}{a}\right) $$ を代入すると $$ F(u)=\frac{b}{2\pi}\int_{-a}^{a}\left(1-\frac{|t|}{a}\right)e^{-iut}dt $$ ただし$a>0$, $b>0$とする。 $f(x)$が偶関数であることを用いると $$ F(u)=\frac{b}{\pi}\int_{0}^{a}\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt$$ ここで $$ \frac{d}{dt}\left\{\left(1-\frac{t}{a}\right)\sin(ut)\right\}=-\frac{1}{a}\sin(ut)+\left(… text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E6%BA%96%E5%82%991&rev=1661229272&do=diff フーリエ解析のための準備 1 * 関数 * 関数のグラフ * 連続 * 滑らか（微分可能） text/html 2022-08-23T04:34:32+00:00 Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) http://sstweb.ee.ous.ac.jp/doku.php?id=amath2:%E6%BA%96%E5%82%992&rev=1661229272&do=diff フーリエ解析のための準備 2 * 三角関数 * 指数関数 * テーラー展開（マクローリン展開） * オイラーの公式 * 複素三角関数の微積分 テーラー展開 $$ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\displaystyle\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\cdots $$ $$ f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n $$ マクローリン展開 $$ f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n $$ オイラーの公式 $$ {\rm e}^{ix}=\cos x+i\sin x $$$${\rm e}^{i0}=1$$$${\rm e}^{i\pi}=-1$$$${\rm e}^{-i\pi}=-1$$$${\rm e}^{i2\pi}=1$$$${\rm e}^{i\frac{\pi}{2}}=i$$$${\rm e}^{-i\frac{\pi}{2}}=-…