はじめに
卒業研究の具体的な課題に入る前に、
- 英語で書かれた教科書や論文を読む練習
- 他者に自分の考えを説明する練習
として、A.Großの教科書1) を輪読します。
A. Groß, Theoretical Surface Science -- A Microscopic Perspective --, Springer-Verlag (2002) Berlin.
補足説明
対称性による必要計算資源の低減
ハミルトニアンを不変に保つ対称変換の異なる固有値に属する波動関数の間の行列要素は零になる。
証明
対称操作$T$がハミルトニアン$H$を不変に保つなら、$H$と$T$は可換であるから $$ [H, T]=0 $$ すなわち、 $$ HT-TH =0 $$
$T$の固有関数による可換な交換子の行列要素は、 $$\langle\psi_j|HT|\psi_i\rangle - \langle\psi_j|TH|\psi_i\rangle =0$$
$T$はHermitであるから $$\langle\psi_j|H| T\psi_i\rangle - \langle T\psi_j|H|\psi_i\rangle =0$$
$\psi_i$, $\psi_j$をそれぞれ$T$の固有値$T_i$, $T_j$に属する固有関数であるとすると $$T_i\langle\psi_j|H| \psi_i\rangle - T_j\langle \psi_j|H|\psi_i\rangle =0$$
すなわち $$(T_i-T_j)\langle\psi_j|H| \psi_i\rangle =0$$
したがって $$T_i\ne T_j \Rightarrow \langle\psi_j|H| \psi_i\rangle =0$$
ブロッホの定理
$T_{\vec{R}}$を並進操作の演算子とすると、 $$T_{\vec{R}}\psi(\vec{r})=\psi(\vec{r}+\vec{R}),$$ ただし、$\vec{R}$は格子ベクトルである。
$T_{\vec{R}}$の固有値を$c(\vec{R})$とすると、 $$\psi(\vec{r}+\vec{R})=c(\vec{R})\psi(\vec{r}),$$
並進対称性があるということは$\psi(\vec{r})$と$\psi(\vec{r}+\vec{R})$は異なっていても$|\psi(\vec{r})|^2$と$|\psi(\vec{r}+\vec{R})|^2$は見分けがつかないということであるので、 $$|c(\vec{R})|^2|\psi(\vec{r})|^2=|\psi(\vec{r})|^2,$$ より $$|c(\vec{R})|=1,$$ したがって、 $$c(\vec{R})=e^{i\sigma},$$ ここで$\sigma$は実数である
並進操作は順序に依存しないので、$$T_{\vec{R}+\vec{R'}}=T_{\vec{R}}T_{\vec{R'}}=T_{\vec{R'}}T_{\vec{R}}.$$ すなわち $$\psi(\vec{r}+\vec{R}+\vec{R'})=c(\vec{R}+\vec{R'})\psi(\vec{r})$$ $$\psi(\vec{r}+\vec{R}+\vec{R'})=c(\vec{R})\psi(\vec{r}+\vec{R'})=c(\vec{R})c(\vec{R'})\psi(\vec{r})$$ したがって $$c(\vec{R}+\vec{R'})=c(\vec{R})c(\vec{R'})$$ これが成立するには $$c(\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot\vec{R}}$$ であればよい。
波動関数に戻ると、 $$\psi(\vec{r}+\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot\vec{R}}\psi(\vec{r})$$ となるためには、$\psi(\vec{r})=e^{\vec{k}\cdot\vec{r}}u_\vec{k}(\vec{r})$とおくと、 $$\psi(\vec{r}+\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot(\vec{r}+\vec{R})}u_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot\vec{R}}e^{\vec{k}\cdot\vec{r}}u_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R})$$ より $u_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R})=u_\vec{k}(\vec{r})$であれば$\psi(\vec{r}+\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot\vec{R}}\psi(\vec{r})$が成立する。