SST Lab Dokuwiki Header header picture

ユーザ用ツール

サイト用ツール


lectures:連立一次方程式

連立一次方程式

係数行列(拡大係数行列)

$$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{cases} \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} $$

行列の行基本変形

  • ある行を何倍かする(0倍以外)
  • ある行の何倍かを他の行に加える
  • ある行と別の行を交換する

CASE A

$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\,&\ast \end{bmatrix} $$

  • ただ1組の解をもつ

CASE B

$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\,&0 \end{bmatrix} $$

  • 解は無数に存在する(解にはパラメータが含まれる)

CASE C

$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\,&\ast \end{bmatrix} $$

  • 解は存在しない

ただ一組の解が存在する場合

$$ \begin{array}{ll} &\begin{cases} x+y=3&\cdots(1)\\ x-y=1&\cdots(2)\\ \end{cases}\\ &\begin{cases} 1x+1y=3&\cdots(1)\\ 1x+(-1)y=1&\cdots(2)\\ \end{cases}\\ (2)+(-1)\times(1)\to(2)'&\\ &\begin{cases} 1x+1y=3&\cdots(1)\\ 0x+(-2)y=-2&\cdots(2)'\\ \end{cases}\\ (2)'\div(-2)\to(2)''&\\ &\begin{cases} 1x+1y=3&\cdots(1)\\ 0x+1y=1&\cdots(2)''\\ \end{cases}\\ (1)+(-1)\times(2)''\to(1)'&\\ \end{array} $$

lectures/連立一次方程式.txt · 最終更新: 2023/09/05 11:02 by kimi

Donate Powered by PHP Valid HTML5 Valid CSS Driven by DokuWiki