@surface

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====== 行列式 ======
===== 定義 =====
存在証明等がないので厳密な定義ではないが、実用上一番すっきりするのは、
  - 多重線形性
  - 交代性
  - $|E|=1$ （単位行列の行列式は$1$）

を定義とするもの。
==== 多重線形性 ====
線形性
  - $\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+b_{1}&a_{2}+b_{2}&a_{3}+b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|$
  - $\left|\begin{array}{cccc}ka_{1}&ka_{2}&ka_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|$
が、どの行についてもどの列についても成り立つ。

==== 交代性 ====
二つの行、もしくは二つの列を入れ替えると符号が逆転する。
  * $\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|$

===== 行列式の性質 =====
==== 同じ行があると零になる ====


交代性の式、
$$\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|$$
で$\left[\begin{array}{ccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right]$
とおくと、
$$\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|$$
これが成立するためには、
$$\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0$$

==== すべて0の行があると行列式は0 ====

$$\left|\begin{array}{cccc}ka_{1}&ka_{2}&ka_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|$$
に
$k=0$を代入すると、
$$\left|\begin{array}{cccc}0&0&0\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=0$$

==== ある行に別の行の定数倍を加えても値は変化しない ====
第2行の$k$倍を第1行に加えた行列の行列式を考えると、
$$\begin{align}
\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+kb_{1}&a_{2}+kb_{2}&a_{3}+kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
&=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
+\left|\begin{array}{cccc}kb_{1}&kb_{2}&kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\\
&=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
+k\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|\\
&=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
\end{align}
$$
したがって、
$$
\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
=
\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+kb_{1}&a_{2}+kb_{2}&a_{3}+kb_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|
$$