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lectures:基底
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====== 基底 ====== ===== 線形結合 ===== $\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}\in\mathbf{R}^n,\,{c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k}\in\mathbf{R}^1$について、 $$c_1\vec{u_1}+c_2\vec{u_2}+c_3\vec{u_3}+\cdots+c_k\vec{u_k}$$ を$\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}$の**一次結合**という。 ===== 線形関係式 ===== $\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}\in\mathbf{R}^n,\,{c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k}\in\mathbf{R}^1$について、 $$c_1\vec{u_1}+c_2\vec{u_2}+c_3\vec{u_3}+\cdots+c_k\vec{u_k}=\vec{0}$$ が成立するような$({c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k})$の組みが * $(0, 0,0,\cdots,0)$しか存在しない➡︎**一次独立** * $(0, 0,0,\cdots,0)$以外にも存在する➡︎**一次従属** ===== 独立・従属の判定 ===== - $k>n$ (ベクトルの数が次元数より多い)➡︎いつでも**一次従属** - $k=n$ - $\det\left[\begin{matrix}\vec{u_1}&\vec{u_2}&\vec{u_3}&\cdots&\vec{u_n}\end{matrix}\right]\ne 0$➡︎**一次独立** - $\det\left[\begin{matrix}\vec{u_1}&\vec{u_2}&\vec{u_3}&\cdots&\vec{u_n}\end{matrix}\right]=0$➡︎**一次従属** - $k<n$ (ベクトルの数が次元数より少ない)➡︎別途相談 ===== 一次従属なベクトルに関する定理 ===== $\vec{u_1}, \vec{u_2},\cdots,\vec{u_k}$ が一次従属である⇔$\vec{u_1}, \vec{u_2},\cdots,\vec{u_k}$の少なくとも1つは残りのベクトルの一次結合で書ける ==== 証明 ==== $\exists c_j\ne 0$, $c_1\vec{u_1}+c_2\vec{u_2}+\cdots+c_j\vec{u_j}+\cdots+c_k\vec{u_k}=\vec{0}$ $\vec{u_j}=-\frac{c_1}{c_j}\vec{u_1}-\frac{c_2}{c_j}c_2\vec{u_2}-\cdots-\frac{c_k}{c_j}\vec{u_k}$ ===== 基底 =====
lectures/基底.txt
· 最終更新: 2022/08/23 13:34 by
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