@surface

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====== 疑似乱数 ======
  ; 乱数
  : でたらめに並んだ数字の列
    * サイコロを振る
      * 正２０面体サイコロ
    * 物理現象を利用する
      * 放射線、電流のノイズ
    * 国勢調査などの中から数字を抜き出す

  ; 疑似乱数
  : ある規則に従って「乱数のようなもの」を作る
  : 計算機などを用いて生成した でたらめに近い数字の列
    * 再現性
    * 周期性


===== (一様)疑似乱数 =====
  * 乱数の性質のうちいくつかを再現する数列
    * それぞれの数が出現する頻度が一様
    * (一桁の整数の乱数) 5の次に6が来る頻度は1/10
    * (0と1の乱数) 長さn+1の連の個数と長さnの連の個数の比は1/2
    * 一部を取り出しても偏りがない。  ⇒ 局所ランダム性

  * 一様乱数の発生法
    * 線形合同法
    * Lagged Fibonacci法
    * M系列法
    * Mersenne Twister法

===== 線形合同法 =====
==== 線形合同法 ====
  * Lehmer, 1948)
$$X_n= (aX_{n-1}+c) \pmod M$$ 

==== 乗算合同法 ====
$$X_n= (aX_{n-1}) \pmod M$$ 

|$M$|法|$0<M$|
|$a$|乗数|$0<a<M$|
|$c$|増分|$0<c<M$|
|$X_0$|初期値|$M0<X_0<M$|

==== 線形合同法の例 ====
  * $c = 0$, $a = 11$, $M = 2^5 = 32$, $X_0 = 1$
$$
\begin{matrix}
& &		 1\\
 1*11 \pmod {32}	& &= 	11\\
11*11 \pmod {32}	&= 121 \pmod {32} &=	25\\
25*11 \pmod {32}	&= 275 \pmod {32} &=	19\\
19*11 \pmod {32}	&= 209 \pmod {32} &=	17\\
17*11 \pmod {32}	&= 187 \pmod {32} &=	27\\
27*11 \pmod {32}	&= 297 \pmod {32} &=	9\\
 9*11 \pmod {32}	&=  99 \pmod {32} &=	3\\
 3*11 \pmod {32}	&=  33 \pmod {32} &=	1
\end{matrix}
$$
  * 周期：8

==== 線形合同法の特徴 ====

  * $0$から$M–1$の間の整数の乱数を生成する
  * $n$番目の乱数は$n–1$番目の乱数により決まる
  * 最大周期は$M$である
  * 1周期の中に同じ数は2度出てこない
  * $a$と$M$は互いに素にとらないと充分にデタラメにならない
  * 結晶構造になる

=== 実数の一様乱数 ===
  * $[0, M–1]$の乱数$\{x_i\}$を$[0, 1)$の乱数$\{u_i\}$に変換
    * $ u_i = \displaystyle\frac{x_i}{M}$

例）$c = 0$, $a = 177$, $M = 2^15$, $X_0 = 1$
^  $n$  ^  $x_n$  ^  $u_n$  ^
|  0|    1|  0.00003051758  |
|  1|  177|  0.00540161133  |
|  2|  31329|  0.95608520508  |
|  3|  7441|  0.22708129883  |
|  4|  6337|  0.19338989258  |

=== 線形合同法の実装系 ===
  * $X_n = (aX_{n–1} + c) \pmod M$
  * ''rand''（cの元標準乱数）
    * $a=1103515245$, $c=12345$, $M=2^{31}$ (BSD)
  * ''drand48''（''rand''の代替標準乱数）
    * $a=25214903917$, $c=11$, $M=2^{48}$

^  $2^{31}$個発生させ、2個ずつペアにして$x$-$y$座標としてプロット  ^^
|{{:lectures:rand.png?240|}}|{{:lectures:drand.png?240|}}|
|  ''rand()''   |  ''drand48()''   |
|   $M=2^{31}$  |   $M=2^{48}$  |
|  周期：$2^{31}$  |  周期：$2^{48}$  |
===== Lagged Fibonacci法 =====
$$X_n=f(X_{n-r}, X_{n-s}) \pmod M$$

$r$, $s$, $M$: 整数（$r>s$）

    * 周期は最大$(2^w–1)(2^r–1)$（$w$はワード長）
    * 連続する乱数の和の分布が正規分布からずれる

==== Lagged Fibonacci法の実装系 ====
  * ''random''（Cの現標準乱数）
  * $X_n = (X_{n–r} + X_{n–s}) \pmod M$

|{{:lectures:random.png?240|}}|
|  $r=31$, $s=28$, $M=2{31}$  |
|  周期:$\sim 2^{62}$  |
===== M系列法(線形最大周期列法) =====
  * Maximum length linearly recurring sequence
$$R_n=R_{n-p}\oplus R_{n-q}$$
  * 周期は$2^p–1$で比較的長い。
  * 演算が単純⇒高速
  * 結晶構造にならない。

^  $p$  ^  $q$  ^
|  89  |  38  |
|  127  |  1, 7, 15, 30, 63  |
|  250  |  103  |
|  521  |  32, 48, 158, 168  |
|  607  |  105, 147, 273  |
===== Mersenne-Twister法 =====
  * 松本-西村 1997
  * $x_{n+p} = x_{n+q}\oplus x_{n+1}B\oplus x_n A$
    * $A$, $B$ ある特別な$w\times w$行列
    * $p$, $q$ はある特別な整数
    * 周期は $2^{19937}–1$
    * 623次元空間で均等に分布



===== 分布をもった乱数 =====
|{{:lectures:droppedimage-small-246.png?160|}}|{{:lectures:droppedimage-small-248.png?160|}}|{{:lectures:droppedimage-small-250.png?160|}}|
|  一様分布  |  指数分布  |  正規分布  |

==== 指数分布 ====
=== 逆関数法 ===
  * $\{u_i\}$ $(0\le u_i<1)$: 一様乱数
  * $x_i=-\displaystyle\frac{1}{\lambda}\ln {u_i}$
  * $\{x_i\}$: $f(x)\propto \mathrm{e}^{-\lambda x}$の指数分布に従う乱数

==== 正規分布 ====
=== 極座標法(Box-Muller 法) ===
  * $\{u_i\}$, $\{v_i\}$ $(0\le u_i, v_i<1)$: 一様乱数
  * $x_i=\sqrt{-2\ln {u_i}}\cos{(2\pi v_i)}$
  * $y_i=\sqrt{-2\ln {u_i}}\sin{(2\pi v_i)}$
  * $\{x_i\}$, $\{y_i\}$: 平均0, 標準偏差1の正規分布に従う乱数

=== 中心極限定理 ===
  * $\{u_i\}$ $(0\le u_i<1)$: 一様乱数
  * $x_k=(u_{12k}+u_{12k+1}+u_{12k+2}+\cdots+u_{12k+10}+u_{12k+11})-6$
  * $\{x_i\}$: 平均0, 標準偏差1の正規分布に従う乱数