基本変形と基本行列
基本変形
ある行（列）と他の行（列）を入れ替える
ある行（列）を定数倍する
ある行（列）の定数倍を他の行（列）に加える
- 行基本変形
- （$(n\times n)$基本行列）（$(n\times m)$行列）
- 列基本変形
- （$(n\times m)$行列）（$(m\times m)$基本行列）
基本行列
置換
$$
T_{ij}=\left[ {\begin{array}{ccccccc}
1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&0&{}&1&{}&{}\\
{}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\
{}&{}&1&{}&0&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&1
\end{array}} \right]$$
$ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delta_{m,j} +\delta_{\ell,j}\delta_{m,i}$
${}^tT_{ij}=T_{ij}$ ($T_{ij}=T_{ji}$)
$|T_{ij}|=-1$
$|T_{ij}A|=-|A|$
$T_{ij}^{-1}=T_{ij}$
スケール変換
$$
D_{i}(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&1&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&s&{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&1
\end{array}} \right] $$
$(D_{i}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}$
$D_{i}(1)=E$
$|D_{i}(s)|=s$
$|D_{i}(s)A|=s|A|$
$D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$
$$ L_{ij}(s)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\
{}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\
{}&{}&1&{}&s&{}&{}\\
{}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\
{}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\
{}&{}&{}&{}&{}&{}&1
\end{array}} \right]$$
$(L_{ij}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,j}$
$L_{ij}(0)=E$
$|L_{ij}(s)|=1$
$|L_{ij}(s)A|=|A|$
$L_{ij}(s)^{-1}=L_{ij}(-s)$