関数$f(x)$が区間$I$で何回でも微分可能なとき、区間$I$に含まれる二点$\begin{matrix}x=a,&b&(a<b)\end{matrix}$に対して、 $$ f(b)=f(a)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}f^{(k)}(a)(b-a)^k+R_n $$
$$ R_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(c)(b-a)^n $$
となる$\begin{matrix}c&(a<c<b)\end{matrix}$が存在する
$\begin{matrix}R_n\to 0&(n\to\infty)\end{matrix}$ならば、$\begin{matrix}b\to x&a\to0\end{matrix}$ と置くことにより、
$$ f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3\cdots\\ $$
のように展開できる。
$$ f(x)=f(0)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\\ $$
$$ \sin x=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-\cdots+\frac{(-1)^m}{(2m+1)!}x^{2m+1}+\cdots $$ 収束半径は$(-\infty<x<\infty)$
$$ \cos x=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6+\cdots+\frac{(-1)^m}{(2m)!}x^{2m}+\cdots $$ 収束半径は$(-\infty<x<\infty)$
$$ e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{120}x^5+\frac{1}{720}x^6+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots $$ 収束半径は$(-\infty<x<\infty)$
$$ \ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\cdots $$ 収束半径は$(-1<x\le1)$
$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots+x^n+\cdots $$ 収束半径は$(-1<x<1)$
$$ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha -1)(\alpha -2)}{6}x^3+\cdots $$ $$ \cdots+\frac{\alpha(\alpha -1)(\alpha -2)\cdots(\alpha -n+1)}{n!}x^n+\cdots $$ 収束半径は$(-1<x<1)$
$$ \frac{1}{\sqrt{1-x}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2+\frac{5}{16}x^3+\cdots+\frac{(2n-1)!!}{2^nn!}x^n+\cdots $$ 収束半径は$(-1<x\le1)$