演算子に対しては和の交換則は成立するが、積の交換則は成立しない。すなわちA, Bを演算子とすると、一般には $$ AB\ne BA $$ である。そこで $$ [A,B]=AB-BA $$ と定義し、これを交換子とよぶ。
一般に、交換子には次のような関係がなりたつ。ただし、$A$, $B$, $C$は演算子、$k$は単なる数(一般に複素数)であるとする。