演算子Aと演算子Bが可換であるとき、 AB=BA [A,B]=AB−BA=0 演算子Aの固有値aiに属する固有関数を|ai⟩とすると、 A|ai⟩=ai|ai⟩ BA|ai⟩=aiB|ai⟩ AB|ai⟩=aiB|ai⟩ であるから、関数B|ai⟩も演算子Aの固有値aiに属する固有関数である
関数B|ai⟩は関数|ai⟩のスカラー倍でなければならないので、 B|ai⟩=c|ai⟩ これは関数|ai⟩が演算子Bの固有関数であることを意味する。
A∑ici|i⟩=a∑ici|i⟩ B|i⟩=aB|i⟩ B|i⟩=∑jci,j|j⟩ ⟨k|B|i⟩=∑jci,j⟨k|j⟩=ci,k ∑k|k⟩⟨k|=1 B|i⟩=∑jcj(∑k|k⟩⟨k|)|j⟩ B|i⟩=∑k|k⟩∑jcj⟨k|j⟩