$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ とすると$F(u)$は $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$ これに$-a<x<a$では $$ f(x) = b $$ $x< -a$もしくは$a<x$では $$ f(x) = 0 $$ を代入すると $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a}be^{-iut}dt $$
$$F(u)=\frac{b}{2\pi}\left[\frac{1}{-iu}e^{-iut}\right]_{-a}^{a}$$
$$F(u)=\frac{b}{2\pi}\frac{1}{-iu}\left(e^{-iua}-e^{iua}\right)$$
$$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{1}{u}\frac{e^{iua}-e^{-iua}}{2i}$$
$$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{\sin(au)}{u}$$
したがって $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ を具体的に書き下すと $$ e^{-a|x|} =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{u^2+a^2}e^{iux}du $$ $-a<x<a$では $$ b =\frac{b}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}e^{iux}du $$ $x< -a$もしくは$a<x$では $$ 0 =\frac{b}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}e^{iux}du $$