二階線型微分方程式

$$a\displaystyle\frac{{{{\rm d}}^2 }} {{{{\rm d}}x^2 }}f\left( x \right) + b\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) + cf\left( x \right) = ah\left( x \right)$$

$$at^2 + bt + c = a\left( {t - \alpha } \right)\left( {t - \beta } \right)$$

$$\displaystyle\frac{{{{\rm d}}^2 }} {{{{\rm d}}x^2 }}f\left( x \right) - \left( {\alpha + \beta } \right)\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) + \alpha \beta f\left( x \right) = h\left( x \right)$$

$$\displaystyle\frac{{{{\rm d}}^2 }} {{{{\rm d}}x^2 }}f\left( x \right) - \alpha \displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) - \beta \displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) + \alpha \beta f\left( x \right) = h\left( x \right)$$

$$\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}\left( {\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) - \alpha f\left( x \right)} \right) - \beta \left( {\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) - \alpha f\left( x \right)} \right) = h\left( x \right)$$

$$\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}f\left( x \right) - \alpha f\left( x \right) = g\left( x \right)$$

$$\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}g\left( x \right) - \beta g\left( x \right) = h\left( x \right)$$

$$\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}g\left( x \right) - \beta g\left( x \right) = 0$$

$$\displaystyle\frac{1} {{g\left( x \right)}}\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}g\left( x \right) = \beta$$

$$\int {\displaystyle\frac{1} {{g\left( x \right)}}\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}g\left( x \right)} {{\rm d}}x = \int \beta {{\rm d}}x$$

$$\ln g\left( x \right) + C = \beta x + C'$$

$$g\left( x \right) = C{{\rm e}}^{\beta x}$$

$$g\left( x \right) = u\left( x \right){{\rm e}}^{\beta x}$$

$$\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}\left( {u\left( x \right){{\rm e}}^{\beta x} } \right) - \beta u\left( x \right){{\rm e}}^{\beta x} = h\left( x \right)$$

$${{\rm e}}^{\beta x} \displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}u\left( x \right) + \beta u\left( x \right){{\rm e}}^{\beta x} - \beta u\left( x \right){{\rm e}}^{\beta x} = h\left( x \right)$$

$$\displaystyle\frac{{{\rm d}}} {{{{\rm d}}x}}u\left( x \right) = {{\rm e}}^{ - \beta x} h\left( x \right)$$

$$u\left( x \right) = \int {{{\rm e}}^{ - \beta x} h\left( x \right){{\rm d}}x}$$

$$g\left( x \right) = {{\rm e}}^{\beta x} \int {{{\rm e}}^{ - \beta x} h\left( x \right){{\rm d}}x} + C{{\rm e}}^{\beta x}$$

$$f\left( x \right) = {{\rm e}}^{\alpha x} \displaystyle\int {{{\rm e}}^{ - \alpha x} g\left( x \right){{\rm d}}x} + D{{\rm e}}^{\alpha x} = {{\rm e}}^{\alpha x} \int {{{\rm e}}^{ - \alpha x} \left( {{{\rm e}}^{\beta x} \int {{{\rm e}}^{ - \beta x} h\left( x \right){{\rm d}}x} + C{{\rm e}}^{\beta x} } \right){{\rm d}}x} + D{{\rm e}}^{\alpha x}$$

$$= {{\rm e}}^{\alpha x} \int {\left( {{{\rm e}}^{\left( {\beta - \alpha } \right)x} \int {{{\rm e}}^{ - \beta x} h\left( x \right){{\rm d}}x} + C{{\rm e}}^{\left( {\beta - \alpha } \right)x} } \right){{\rm d}}x} + D{{\rm e}}^{\alpha x}$$

$$= {{\rm e}}^{\alpha x} \int {\left( {{{\rm e}}^{\left( {\beta - \alpha } \right)x} \int {{{\rm e}}^{ - \beta x} h\left( x \right){{\rm d}}x} } \right){{\rm d}}x} + C{{\rm e}}^{\alpha x} \int {{{\rm e}}^{\left( {\beta - \alpha } \right)x} {{\rm d}}x} + D{{\rm e}}^{\alpha x}$$