====== Si(553)理想表面の原子配列 ======
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===== Si(553)-1x2 Super-cell =====

===== 課題1 =====

セル内の原子をfccの単純基本格子ベクトル$\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$を使って

$$
\vec{r}_n=h_{n}\vec{a}+k_{n}\vec{b}+\ell_{n}\vec{c}
$$

のようにおく。まず、セル内の全ての原子について$(h_{n},\,k_{n},\,\ell_{n})$を求めよ。
===== 課題2 =====

スーパーセルの基本格子ベクトル$\vec{A},\,\vec{B},\,\vec{C}$を

$$
\begin{array}{rcl}
\vec{A}&=&2(\vec{b}-\vec{a})\\
\vec{B}&=&L(\vec{a}+\vec{b})\\
\vec{C}&=&u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c}
\end{array}
$$

のように定義し、$(u,\,v,\,w)$と${L}$とを決定せよ。

===== 課題3 =====

$$
\vec{r}_n=\alpha_n\vec{A}+\beta_n\vec{B}+\gamma_n\vec{C}
$$

となるように$(\alpha_n,\,\beta_n,\,\gamma_n)$を$(h_{n},\,k_{n},\,\ell_{n})$で表す。

$$
\begin{array}{rcl}
\vec{r}_n&=&\alpha_n\vec{A}+\beta_n\vec{B}+\gamma_n\vec{C}\\
         &=& \alpha_n 2(\vec{b}-\vec{a})
            +\beta_n  L(\vec{a}+\vec{b})
            +\gamma_n  (u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c})\\
         &=&  (-2\alpha_n + L\beta_n + u\gamma_n) \vec{a} 
             + (2\alpha_n + L\beta_n + v\gamma_n) \vec{b} 
             + w\gamma_n \vec{c}\\
&=&h_{n}\vec{a}+k_{n}\vec{b}+\ell_{n}\vec{c}
\end{array}
$$

より

$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
-2\alpha_n + L\beta_n + u\gamma_n &=& h_{n}\\
 2\alpha_n + L\beta_n + v\gamma_n &=& k_{n}\\
 w\gamma_n &=& \ell_{n}
\end{array}
\right.
$$


$$
 \gamma_n = \displaystyle\frac{\ell_{n}}{w}
$$

を代入すると

$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
-2\alpha_n + L\beta_n &=& h_{n} - \displaystyle\frac{u}{w}\ell_{n}\\
 2\alpha_n + L\beta_n &=& k_{n} - \displaystyle\frac{v}{w}\ell_{n}
\end{array}
\right.
$$

これを解き、

$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
\alpha_n &=& \displaystyle\frac{1}{4}\left(-h_{n}+k_{n} + \displaystyle\frac{u-v}{w}\ell_{n}\right)\\
\beta_n  &=& \displaystyle\frac{1}{2L}\left(h_{n}+k_{n} - \displaystyle\frac{u+v}{w}\ell_{n}\right)\\
\gamma_n &=& \displaystyle\frac{\ell_{n}}{w}
\end{array}
\right.
$$

となることを確かめよ。

===== 課題4 =====

ここから、$(\alpha_n,\,\beta_n,\,\gamma_n)$を求めるようにpythonスクリプトをつくり、(553)面からなるスーパーセルを作成せよ。