====== 連立一次方程式 ======

===== 係数行列（拡大係数行列） =====

$$
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\vdots\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
\end{bmatrix}
$$



===== 行列の行基本変形 =====
  * ある行を何倍かする（0倍以外）
  * ある行の何倍かを他の行に加える
  * ある行と別の行を交換する

==== CASE A ====

$$
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\

a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&1&\,&\ast
\end{bmatrix}
$$

  * ただ1組の解をもつ

==== CASE B ====

$$
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0&\,&0
\end{bmatrix}
$$

  * 解は無数に存在する（解にはパラメータが含まれる）


==== CASE C ====

$$
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
0&0&\cdots&0&\,&\ast
\end{bmatrix}
$$

  * 解は存在しない


===== ただ一組の解が存在する場合 =====
{{:lectures:figure11.png?200|}}
$$
\begin{array}{ll}
&\begin{cases}
x+y=3&\cdots(1)\\
x-y=1&\cdots(2)\\
\end{cases}\\
&\begin{cases}
1x+1y=3&\cdots(1)\\
1x+(-1)y=1&\cdots(2)\\
\end{cases}\\
(2)+(-1)\times(1)\to(2)'&\\
&\begin{cases}
1x+1y=3&\cdots(1)\\
0x+(-2)y=-2&\cdots(2)'\\
\end{cases}\\
(2)'\div(-2)\to(2)''&\\
&\begin{cases}
1x+1y=3&\cdots(1)\\
0x+1y=1&\cdots(2)''\\
\end{cases}\\
(1)+(-1)\times(2)''\to(1)'&\\
\end{array}
$$