====== 逆行列 ======
===== 定義 =====
正方行列
$$
A=\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{bmatrix}
$$
に対して、
$$XA=I
$$
を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。

===== 行列の基本変形 =====
==== 行基本変形 ====
  * ある行を何倍かする（0倍以外）
  * ある行の何倍かを他の行に加える
  * ある行と別の行を交換する
→ 基本行列を左から掛ける
==== 列基本変形 ====
  * ある列を何倍かする（0倍以外）
  * ある列の何倍かを他の列に加える
  * ある列と別の列を交換する
→ 基本行列を右から掛ける
===== 逆行列の存在 =====

==== CASE A ====
  * 適当な行基本変形により単位行列に変形できる。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A=n$
$$
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1&0&\cdots&0\\
0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&1
\end{bmatrix}
$$
  * 用いた行基本変形に対応する基本行列を$R_1$, $R_2$, $\cdots$, $R_M$とすると

$$
R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 A = I\Rightarrow A^{-1}= R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1
$$



==== CASE B ====
  * 適当な行基本変形により単位行列に変形できない。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A<n$

$$
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1&\ast&\cdots&\ast\\
0&1&\cdots&\ast\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&0
\end{bmatrix}
$$


  * 逆行列は存在しない（のではないだろうか）



===== 逆行列の性質 =====
==== 定理1 ====