====== 行列のランク ======


===== 行列の行基本変形 =====
  * ある行を何倍かする（0倍以外）
  * ある行の何倍かを他の行に加える
  * ある行と別の行を交換する


$$
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1&\ast&\cdots&\ast\\
0&1&\cdots&\ast\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&\cdots&0&
\end{bmatrix}
$$

  * 全て$0$でない行の数＝行列のランク（回数）


===== 連立一次方程式 =====

$$
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\vdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{cases}
$$

==== 係数行列 ====

$$
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{bmatrix}
$$

==== 係数行列（拡大係数行列） ====


$$
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&\,&b_{m}
\end{bmatrix}
$$