====== 冪関数の微分 ======

===== 実数冪 =====



一般に$\alpha$が実数のとき、
$y=x^\alpha$ とする。両辺を対数を取って微分すると、
したがって、
$$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$$
\begin{align}
y &=x\alpha\\
\ln y&=\alpha\ln x\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\alpha\ln x)\\
\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln y\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\
\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{y}{x}=\alpha\frac{x^\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}
\end{align}